[논문 리뷰] Scheduling Under Non-Uniform Job and Machine Delays

Rajmohan Rajaraman, David Stalfa외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 07. 26.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 비균일 통신 지연을 가진 이질적 머신에서 선행 관계가 있는 작업을 스케줄링하기 위한 최초의 다중로그 스케줄링 알고리즘을 제시한다. 이는 작업 및 머신 지연을 포함한다. 새로운 스케줄링 알고리즘을 도입하여 渐近적 및 진정된 다중로그 근사 비율을 확보하였으며, 고유 머신 선행 관계 스케줄링 문제로의 감소를 통해 난이도 결과를 수립하였다. 이는 비균일 지연 스케줄링 모델을 이해하는 데 있어 기초적인 단계를 마련한다.

ABSTRACT

We study the problem of scheduling precedence-constrained jobs on heterogenous machines in the presence of non-uniform job and machine communication delays. We are given as input $n$ unit size precedence-ordered jobs and $m$ related machines such that machine $i$ can execute up to $m_i$ jobs at a time. Each machine $i$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_i$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_i$. Likewise, each job $v$ has an in-delay $ρ^{\mathrm{in}}_v$ and out-delay $ρ^{\mathrm{out}}_v$. In a schedule, job $v$ may be executed on machine $i$ at time $t$ if each predecessor $u$ of $v$ is completed on $i$ before time $t$ or on any machine $j$ before time $t - (ρ^{\mathrm{in}}_i + ρ^{\mathrm{out}}_j + ρ^{\mathrm{out}}_u + ρ^{\mathrm{in}}_v)$. The goal is to construct a schedule that minimizes makespan. We consider schedules that allow duplication of jobs as well as schedules which do not. When duplication is allowed, we provide an asymptotic $\mathrm{polylog}(n)$-approximation algorithms both when duplication is allowed and when it is not. We also obtain a true $\mathrm{polylog}(n)$-approximation for symmetric machine and job delays. These are the first polylogarithmic approximation algorithms for scheduling with non-uniform communication delays. We also consider a more general model, where the delay can be an arbitrary function of the job and the machine executing it: job $v$ can be executed on machine $i$ at time $t$ if all of $v$'s predecessors are executed on $i$ by time $t-1$ or on any machine by time $t - ρ_{v,i}$. We present an approximation-preserving reduction from the Unique Machines Precedence-constrained Scheduling (UMPS) problem, first defined in [DKRSTZ22], to this job-machine delay model. The reduction entails logarithmic hardness for this delay setting, as well as polynomial hardness if the conjectured hardness of UMPS holds.

연구 동기 및 목표

• 비균일 통신 지연이 있는 스케줄링에 대해 증명 가능하게 좋은 근사 알고리즘이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 선행 제약 조건이 있는 네트워크 기반 이종 컴퓨팅 환경에서 작업 및 머신 지연을 모델링하고 분석하기 위해.
• 비균일 지연 하에서 제작 기간을 최소화하는 스케줄링 알고리즘을 개발하기 위해, 작업 복제 유무에 관계없이.
• 고유 머신 선행 관계 스케줄링(UMPS) 문제를 일반적인 비균일 지연 모델로의 첫 번째 근사 비율 유지를 보존하는 감소를 수립하기 위해.
• 비균일 지연 스케줄링 문제의 계산 복잡도 지형도를 정리하고 탐색하기 위해.

제안 방법

• 작업 v가 시간 t에 머신 i에서 스케줄링될 수 있는 조건은 모든 선행 작업이 t − (ρin_i + ρout_j + ρout_u + ρin_v) 이전에 완료되어야 하며, 이는 머신 및 작업별 지연을 고려한 것이다.
• 선형 스케줄링 기반 알고리즘을 제안하며, 선행 작업 수에 기반한 임계 조건을 통해 머신 간 동적 로드 밸런싱을 수행하는 스케줄링 라운드를 유도한다.
• 라운드 단위로 작업을 처리하는 재귀적 스케줄링 전략을 적용하며, 통신 지연과 머신 용량에 기반한 시간 증분을 사용한다.
• 각 라운드에 스케줄링되는 총 작업 수가 총 로드의 최소 절반 이상임을 보여주는 핵심 보조정리를 적용하여, 반복 횟수에 대한 로그 기반의 경계를 확보한다.
• 고유 머신 선행 관계 스케줄링(UMPS) 문제를 비균일 지연 모델로 감소시키며, 근사 비율을 유지한다.
• 귀납적 분석과 불변성을 사용하여 정당성과 다중로그 인자에 기반한 제작 기간의 경계를 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비균일 작업 및 머신 지연이 있는 스케줄링에 대해 다중로그 근사 알고리즘을 달성할 수 있는가?
• RQ2 비균일 지연 스케줄링에서 작업 복제가 근사 비율에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 균일한 머신 속도와 크기가 비균일 지연 모델에서 근사 품질에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 대칭 지연(ρin_i = ρout_i)이 비대칭 지연보다 더 강력한 근사 보장을 제공할 수 있는가?
• RQ5 비균일 지연 스케줄링 문제의 계산 난이도는 무엇이며, UMPS와 같은 알려진 난이도 문제와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 작업 복제가 허용되는 경우, 작업 및 머신 지연이 있는 스케줄링에 대해 渐진적 다중로그(n)-근사 알고리즘을 달성하였다.
• 균일 속도, 균일 크기, 작업 지연이 없는 특수 케이스에서, 비균일 지연에 대해 O(polylog(n))의 최적 근사 비율을 달성하였다.
• 복제가 없는 스케줄링의 경우, 일반 모델에 대해 渐진적 다중로그(n)-근사 비율을 확보하였으며, 지연이 대칭일 경우 진정된 다중로그(n)-근사 비율을 달성하였다.
• UMPS로의 감소를 통해 비균일 지연 모델에 대해 로그 기반 난이도 결과를 수립하였으며, 이는 다항식 이하의 근사가 비가능할 수 있음을 암시한다.
• UMPS에서 일반 지연 모델로의 감소는 UMPS의 추측된 난이도가 참이라면 다항식 근사 불가능성이 유지됨을 보여준다.
• 알고리즘 프레임워크는 O(polylog(αρ ¯mk¯sk) · αρ + |U|/(|⟨k⟩|·¯mk¯sk) + ρ) 형태의 제작 기간 경계를 보장하며, 이는 핵심 매개변수에 대해 다중로그 기반이다.