[논문 리뷰] Scheduling with a Limited Testing Budget

Christoph Damerius, Peter Kling외 3명|arXiv (Cornell University)|2023. 01. 01.

Optimization and Search Problems인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 제한된 테스트 예산 하에, 테스트 작업이 작업별 비용으로 처리 시간을 줄이는 상황에서, 하한값이 알려진(오프라인) 및 알려지지 않은(무지각) 설정 하에서 스케줄링을 연구한다. 오프라인 케이스에서는 총 처리 시간에 대해 새로운 선형계획법(LP) 라운딩 기법을 통해 PTAS를 제안하고, 무지각 케이스에서는 총 처리 시간에 대해 (4+ϵ)-competitive 알고리즘을 제안하며, 오프라인 케이스에서는 최소화된 제작 시간에 대해 FPTAS를 제시하고, 무지각 케이스에서는 최소화된 제작 시간에 대해 (2+ϵ)-competitive 알고리즘을 제안한다. 모든 알고리즘에 대해 최적성의 증명을 위한 일치하는 하한값을 함께 제시한다.

ABSTRACT

Scheduling with testing falls under the umbrella of the research on optimization with explorable uncertainty. In this model, each job has an upper limit on its processing time that can be decreased to a lower limit (possibly unknown) by some preliminary action (testing). Recently, D{ü}rr et al. \cite{DBLP:journals/algorithmica/DurrEMM20} has studied a setting where testing a job takes a unit time, and the goal is to minimize total completion time or makespan on a single machine. In this paper, we extend their problem to the budget setting in which each test consumes a job-specific cost, and we require that the total testing cost cannot exceed a given budget. We consider the offline variant (the lower processing time is known) and the oblivious variant (the lower processing time is unknown) and aim to minimize the total completion time or makespan on a single machine. For the total completion time objective, we show NP-hardness and derive a PTAS for the offline variant based on a novel LP rounding scheme. We give a $(4+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant based on a framework inspired by the worst-case lower-bound instance. For the makespan objective, we give an FPTAS for the offline variant and a $(2+ε)$-competitive algorithm for the oblivious variant. Our algorithms for the oblivious variants under both objectives run in time $O(poly(n/ε))$. Lastly, we show that our results are essentially optimal by providing matching lower bounds.

연구 동기 및 목표

• 고정된 예산 제약 하에 작업을 테스트함으로써 처리 시간을 작업별 비용으로 줄일 수 있는 스케줄링 문제를 다루는 것.
• 하한 처리 시간이 알려져 있는(오프라인) 또는 알려져 있지 않은(무지각) 경우 단일 머신에서 총 처리 시간과 제작 시간을 최소화하는 것.
• 모든 설정에서 두 목표에 대해 효율적인 근사 및 경쟁 알고리즘을 개발하는 것.
• 제안된 알고리즘의 최적성 증명을 위한 날카로운 하한값을 설정하는 것.

제안 방법

• 오프라인 총 처리 시간 문제에 대해 새로운 LP 라운딩 기법을 제안하여 PTAS를 달성한다.
• 최악의 경우 하한값 인스턴스에서 영감을 얻은 프레임워크를 사용하여, 무지각 총 처리 시간 문제에 대해 (4+ϵ)-competitive인 결정론적 알고리즘을 설계한다.
• 이산화된 인스턴스에 대한 동적 프로그래밍을 활용하여 오프라인 제작 시간 목표에 대해 FPTAS를 개발한다.
• 보조 인스턴스와 (1+ϵ)-근사 솔버를 사용하여 무지각 제작 시간 목표에 대해 (2+ϵ)-competitive 알고리즘을 제안한다.
• 경쟁 비율의 하한값을 증명하기 위해 최악의 경우 인스턴스로의 변환을 사용하며, 최적해 및 알고리즘 해의 구조적 성질에 기반한다.
• 모든 근사 및 경쟁 비율의 날카로운 하한값을 악성 대안 구성으로 설정하여, 모든 비율의 최적성의 엄밀함을 입증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 예산 제한이 있는 테스트 모델 하에서 오프라인 총 처리 시간 문제는 효율적으로 근사 가능할 수 있으며, 가능한 최고의 근사 비율은 무엇인가?
• RQ2 무지각 총 처리 시간 문제에 대해 결정론적 온라인 알고리즘이 달성할 수 있는 최고의 경쟁 비율은 무엇인가?
• RQ3 예산 제한이 있는 테스트 모델 하에서 오프라인 제작 시간 최소화 문제에 대해 FPTAS가 존재하는가?
• RQ4 무지각 제작 시간 문제에 대해 (2+ϵ)-competitive 알고리즘을 설계할 수 있으며, 이 비율이 날카로운가?
• RQ5 제안된 근사 및 경쟁 비율이 최적인지 확인할 수 있으며, 일치하는 하한값을 통해 이를 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 제한된 테스트 예산이 있는 오프라인 총 처리 시간 문제는 모든 하한값이 0이어도 NP-난이도임이 입증된다.
• 새로운 LP 라운딩 기법을 사용하여 오프라인 총 처리 시간 문제에 대해 PTAS를 달성한다.
• 무지각 총 처리 시간 문제에 대해 (4+ϵ)-competitive인 결정론적 알고리즘을 제안한다.
• 오프라인 제작 시간 최소화 문제에 대해 FPTAS를 설계한다.
• 무지각 제작 시간 문제에 대해 (2+ϵ)-competitive 알고리즘을 개발하였으며, 실행 시간은 O(poly(n/ϵ))이다.
• 모든 제안된 근사 및 경쟁 비율이 본질적으로 최적임을 입증하기 위해 일치하는 하한값을 설정한다.