[논문 리뷰] Scheduling with a processing time oracle

Fanny Dufossé, Christoph Dürr외 3명|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 07.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 15인용 수 19

한 줄 요약

이 논문은 작업 처리 시간이 짧음(p) 또는 길음(p+x)이지만 초깃값이 알려져 있지 않은 단일 기계 스케줄링 문제를 다룬다; 알고리즘은 처리 시간 오라클을 쿼리(각 쿼리에 1단위 시간 비용 발생)하여 값을 밝혀내야 한다. 목표는 전적으로 정보를 확보한 최적의 비용 대비 스케줄 비용의 비율인 경쟁비율을 최소화하는 것이다. 저자들은 동적 프로그래밍과 가능한 결과의 격자에서의 경계 경로 계산을 통해 최소 경쟁비율을 달성하는 두 단계 전략(먼저 작업을 테스트하고, 이후에는 정보를 무시한 채 스케줄링)을 사용하여 적응형 및 비적응형 모델 모두에 대해 최적의 다항 시간 알고리즘을 제시한다.

ABSTRACT

In this paper we study a single machine scheduling problem with the objective of minimizing the sum of completion times. Each of the given jobs is either short or long. However the processing times are initially hidden to the algorithm, but can be tested. This is done by executing a processing time oracle, which reveals the processing time of a given job. Each test occupies a time unit in the schedule, therefore the algorithm must decide for which jobs it will call the processing time oracle. The objective value of the resulting schedule is compared with the objective value of an optimal schedule, which is computed using full information. The resulting competitive ratio measures the price of hidden processing times, and the goal is to design an algorithm with minimal competitive ratio. Two models are studied in this paper. In the non-adaptive model, the algorithm needs to decide beforehand which jobs to test, and which jobs to execute untested. However in the adaptive model, the algorithm can make these decisions adaptively depending on the outcomes of the job tests. In both models we provide optimal polynomial time algorithms following a two-phase strategy, which consist of a first phase where jobs are tested, and a second phase where jobs are executed obliviously. Experiments give strong evidence that optimal algorithms have this structure. Proving this property is left as an open problem.

연구 동기 및 목표

• 작업 처리 시간이 은폐되어 있으며, 비용이 드는 오라클 쿼리를 통해만 공개되는 단일 기계 스케줄링 환경에서 경쟁비율을 최소화하는 알고리즘을 설계하는 것.
• 이전 결과에 기반해 어떤 작업을 테스트할지 결정할 수 있는 적응형 알고리즘과 그렇지 않은 비적응형 전략의 성능를 비교하는 것.
• 완전한 정보를 확보한 최적 스케줄 대비 완료 시간의 합을 최소화하기 위해 최적의 테스트 작업 수를 결정하는 것.
• 최적 알고리즘이 항상 두 단계 전략—먼저 작업을 테스트하고, 이후에는 추가 쿼리 없이 무시무시하게 스케줄링하는 방식—을 따르는지 증명하거나 반증하는 것.

제안 방법

• 경쟁비율은 알고리즘의 스케줄 비용을 전적으로 정보를 확보한 최적 비용으로 나눈 비율로 정의되는 경쟁 분석 프레임워크로 문제를 모델링한다.
• 두 단계 전략을 가정한다: 첫째, 일부 작업을 테스트한다; 둘째, 얻어진 정보를 바탕으로 추가 쿼리 없이 모든 작업(테스트 및 비테스트)을 스케줄링한다.
• 각 셀 (c,d) 가 c개의 테스트된 짧은 작업과 d개의 테스트된 긴 작업을 나타내는 격자 기반 동적 프로그래밍 접근법을 사용하여 최적 전략을 계산한다.
• 경쟁비율을 최소화하는 경로를 찾기 위해, 셀을 표시하고 반복적으로 정지 비율 R*를 향상시키는 절차를 사용한다.
• 적응형 모델의 경우, 최적의 적대자 전략을 사용하여 최소 경쟁비율을 계산하고, 최적 알고리즘은 이 경로를 따른다.
• 실험은 최대 n=10개의 작업을 대상으로 하며, p와 x 값을 균일하게 샘플링하여 두 단계 전략의 타당성과 알고리즘 성능을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 숨겨진 처리 시간이 있는 단일 기계 스케줄링에서 적응형 및 비적응형 모델에서 달성 가능한 최소 경쟁비율은 무엇인가?
• RQ2 모든 최적 알고리즘이 적응성 여부에 관계없이 항상 두 단계 전략—먼저 작업을 테스트하고, 이후에는 추가 쿼리 없이 무시무시하게 스케줄링하는 방식—을 따르는가?
• RQ3 적응성의 이득(비적응형과 적응형 경쟁비율의 차이)은 p와 x에 따라 어떻게 변화하는가?
• RQ4 최적 전략은 효율적으로 계산될 수 있는가? 제안된 알고리즘의 시간 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 두 단계 전략은 적응형 모델에서도 최적인가? 아니면 더 복잡한 전략이 더 나은 성능을 내는 예외가 존재하는가?

주요 결과

• 제안된 알고리즘은 이론적으로 O(n³), 실질적으로 O(n²)의 시간 복잡도를 가지며, 두 단계 전략을 사용해 적응형 및 비적응형 모델 모두에서 최소 경쟁비율을 달성한다.
• 최대 10개의 작업에 대한 실험에서 두 단계 가설에 대한 반례를 발견하지 못해, 이는 이 전략의 최적성에 대한 강력한 경험적 증거를 제공한다.
• 적응성의 이득은 매우 작다—약 2%로, 이는 이 설정에서 적응형 결정이 비적응형 전략에 비해 제한된 개선을 제공한다는 것을 시사한다.
• 경쟁비율은 x가 클수록(짧고 긴 작업 간 격차가 클수록) 및 p가 작을수록(짧은 작업 시간일수록) 증가하며, p가 증가함에 따라 1에 수렴한다.
• 적응형 모델에서 대부분의 평형 스케줄은 (Tx)* (Tp)* (Ex)* (Ep)* 패턴을 따르지만, n이 커질수록 일부 예외가 존재하여 향후 최적화를 위해 단순한 구조를 활용할 수 없다는 것을 시사한다.
• 비적응형 모델의 알고리즘 전략은 테스트 수가 일정한 (x,p) 공간 내 연결된 영역을 보이며, 반면 적응형 모델에서는 이러한 영역이 끊어져 있어 더 복잡한 결정 경계를 나타낸다.