[논문 리뷰] Scheduling with Locality by Routing

Liu, Alison Hsiang-Hsuan, Liu, Fu-Hong|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 11.

Scheduling and Optimization Algorithms인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 타당성 인자(정의: 각 작업을 처리할 수 있는 최소 기계 비율)가 높은 인스턴스에 대해 비가역 병렬 기계에서 제작기간 최소화를 위한 다항식 시간 알고리즘을 제시한다. 이는 이론적으로 기존의 2-근사보다 향상된 근사 비율을 달성한다. 기계 부하 균형을 이분 그래프에서 증강 경로를 통해 구현함으로써, 제작기간 상한선 T + L/h < 2T를 확보하며, 이는 특히 타당성 인자가 높은 인스턴스에서 뚜렷한 향상을 이룬다. 또한 제한된 할당 문제에 대해서는 1 + q/h의 근사 비율로 더욱 정교한 상한선을 확보한다.

ABSTRACT

This work examines a strongly NP-hard routing problem on trees, in which multiple servers need to serve a given set of requests (on vertices), where the routes of the servers start from a common source and end at their respective terminals. Each server can travel free of cost on its source-to-terminal path but has to pay for travel on other edges. The objective is to minimize the maximum cost over all servers. As the servers may pay different costs for traveling through a common edge, balancing the loads of the servers can be difficult. We propose a polynomial-time 4-approximation algorithm that applies the parametric pruning framework but consists of two phases. The first phase of the algorithm partitions the requests into packets, and the second phase of the algorithm assigns the packets to the servers. Unlike the standard parametric pruning techniques, the challenge of our algorithm design and analysis is to harmoniously relate the quality of the partition in the first phase, the balances of the servers' loads in the second phase, and the hypothetical optimal values of the framework. For the problem in general graphs, we show that there is no algorithm better than 2-approximate unless P = NP. The problem is a generalization of unrelated machine scheduling and other classic scheduling problems. It also models scheduling problems where the job processing times depend on the machine serving the job and the other jobs served by that machine. This modeling provides a framework that physicalizes scheduling problems through the graph’s point of view.

연구 동기 및 목표

• 20년 이상 개선되지 않은 비가역 기계에서의 제작기간 최소화에 대한 전통적인 2-근사 상한선을 향상시키기 위해.
• 높은 타당성 인자로 특징지어지는 광범위한 스케줄링 인스턴스 하위집합에서 더 낮은 근사 비율이 달성 가능한지 규명하기 위해.
• 불가능성을 증명하거나 제작기간이 엄밀히 2T 미만인 스케줄을 계산하는 다항식 시간 알고리즘을 개발하기 위해.
• 제한된 할당 문제에 대해 기존의 33/17 + ε 보다 더 낫지 않은 근사 비율을 향상시키기 위해.
• 기존의 유량 기반 방법보다 더 효율적인 알고리즘을 제공하기 위해 해결 공간에 대한 이진 탐색을 제거하기 위해.

제안 방법

• 타당성 인자 h를 각 작업을 처리할 수 있는 기계의 최소 비율로 정의하여, 타당성에 따라 인스턴스를 분류한다.
• 선형 프로그래밍의 완화 및 반올림 기법을 사용하여, 평균 기계 완료 시간 L일 때 제작기간이 최대 T + L/h 이내인 스케줄을 유도한다.
• 기계-작업 할당과 증강 경로를 나타내는 이분 그래프 Gα(w)를 구축하여 부하를 재균형화한다.
• Gairing 등에서 제안한 UBF 알고리즘을 적용하여, 과부하 기계(M+)에서 부하가 적은 기계(M−)로 증강 경로를 통해 작업을 반복적으로 재할당한다.
• 부하가 L/h 및 w = pmax에 상대적으로 기준으로 M−, M0, M+로 기계를 분할하여 재할당 과정을 이끌어낸다.
• M+ = ∅임을 모순 증명을 통해 증명함으로써 종료를 보장하며, 평균 부하와 타당성 인자 h에 기반한 불변성을 유지함으로써 수렴성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가역 기계 스케줄링에 대한 전통적인 2-근사 상한선은 광범위한 하위집합 인스턴스에 대해 향상될 수 있는가?
• RQ2 높은 타당성 인자 h는 일반적인 2-근사보다 더 낮은 제작기간 상한선을 얼마나 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 제한된 할당 문제에서 높은 타당성 인자를 가진 인스턴스에 대해 33/17 + ε 보다 더 나은 근사 비율을 달성할 수 있는가?
• RQ4 제한된 스케줄링에서 근사 최적 제작기간을 달성하기 위해 이진 탐색 기반 접근법보다 더 효율적인 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 타당성 인자 h의 어떤 구조적 특성이 스케줄링에서 더 나은 근사 보장을 가능하게 하는가?

주요 결과

• 타당성 인자 h ≥ L/T 를 만족하는 모든 인스턴스에 대해, 알고리즘이 제작기간이 최대 T + L/h < 2T 이내인 스케줄을 계산함을 보였다. 이는 기존의 2-근사보다 향상된 결과이다.
• 제한된 할당 문제에 대해, 알고리즘이 (1 + q/h)-근사 비율을 달성하며, 여기서 q = L/pmax 이다. 이는 h > q 일 때 2보다 엄밀히 작아진다.
• 알고리즘은 O(mS) 시간 내에 실행되며, 여기서 S = Σj |{i : pij < ∞}| 이고, Gairing 등이 제안한 O(mS log W) 이진 탐색 기반 방법보다 빠르다.
• 정확성 증명은 M+가 비어 있지 않다면 평균 부하가 L을 초과할 것이며, 이는 알고리즘의 불변성을 위반함을 보여주는 모순 증명에 기반한다.
• 타당성 인자 h는 더 낮은 상한선을 가능하게 하는 핵심 매개변수이며, 높은 h 값일수록 근사 비율이 크게 향상된다.
• 이 방법은 Svensson의 33/17 + ε 보다 더 나은 비율인 1 + q/h 를 제한된 경우에 달성함으로써, 높은 타당성 인자를 가진 인스턴스에 대해 더 나은 성능을 보였다.