[논문 리뷰] Scheduling with two non-unit task lengths is NP-complete

Jan Elffers, Mathijs de Weerdt|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 09.

Scheduling and Optimization Algorithms참고 문헌 7인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 두 개의 비단위 작업 길이와 도착 시간/마감 시간을 갖는 비선점 단일 기계 스케줄링 문제가 강한 NP-완전임을 증명하며, 미해결 문제를 해결한다. 증명은 부울 만족 가능성 문제(SAT)에서, 각 작업 쌍이 적어도 하나의 작업이 조기 마감 시간 이전에 스케줄링되어야 하는 보조 스케줄링 문제(AUX(p,q))로 다항 시간 내의 축소를 사용한다. 이는 이후 작업 길이 변환을 통해 원래 문제로 매핑되며, 고정된 비단위 길이가 존재하는 경우에도 비결정성의 난이도를 보여준다.

ABSTRACT

The non-preemptive job scheduling problem with release times and deadlines on a single machine is fundamental to many scheduling problems. We parameterize this problem by the set of job lengths the jobs can have. The case where all job lengths are identical is known to be solvable in polynomial time. We prove that the problem with two job lengths is NP-complete, except for the case in which the short jobs have unit job length, which was already known to be efficiently solvable. The proof uses a reduction from satisfiability to an auxiliary scheduling problem that includes a set of paired jobs that each have both an early and a late deadline, and of which at least one should be scheduled before the early deadline. This reduction is enabled by not only these pairwise dependencies between jobs, but also by dependencies introduced by specifically constructed sets of jobs which have deadlines close to each other. The auxiliary scheduling problem in its turn can be reduced to the scheduling problem with two job lengths by representing each pair of jobs with two deadlines by four different jobs.

연구 동기 및 목표

• 정확히 두 개의 비단위 작업 길이를 갖는 비선점 단일 기계 스케줄링의 계산 복잡도 문제를 해결하기 위해.
• 작업 길이가 고정된 정수로 1보다 크더라도 문제의 NP-완전성이 유지됨을 입증하기 위해.
• 단위 길이와 비단위 길이 작업 길이를 갖는 경우가 유일한 다항 시간 해법이 가능한 경우임을 보여주며, 이는 이전에 {q,2q}에 대해 다항 시간 알고리즘이 존재한다고 주장한 바와 대비된다.
• 작업 쌍이 조기/지연 마감 시간을 갖는 보조 스케줄링 문제를 체계적으로 정의하고, NP-완전성을 증명하기 위해.

제안 방법

• 부울 만족 가능성 문제(SAT)에서, 각 작업 쌍이 적어도 하나의 작업이 조기 마감 시간 이전에 스케줄링되어야 하는 보조 스케줄링 문제(AUX(p,q))로의 다항 시간 내의 축소.
• 변수와 절 간의 논리적 의존성을 표현하기 위해 특정 도착 시간, 마감 시간, 처리 시간을 갖는 작업 블록을 구성.
• 진술의 진리값이 그에 해당하는 대기 작업이 조기에 완료되는지 지연되어 완료되는지에 따라 결정되도록 하기 위해, 쌍으로 이루어진 대기 작업과 지연된 스케줄링 블록을 사용.
• AUX(p,q) 내의 각 작업 쌍을 길이 p와 q를 갖는 네 개의 작업으로 변환하여, 보조 문제를 두 개의 고정된 비단위 길이를 갖는 원래 스케줄링 문제로 매핑.
• 보조 문제의 NP-완전성은 SAT 축소를 통해 증명되며, 원래 문제로의 다항 시간 축소 가능성도 입증된다.
• 비어 있는 시간 간격 전파 및 마감 시간 정렬 등의 구조적 제약 조건을 사용하여, 만족 가능한 SAT 할당 값만이 타당한 스케줄링을 생성하도록 보장.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고정된 두 개의 비단위 작업 길이를 갖는 비선점 단일 기계 스케줄링 문제의 NP-완전성은 성립하는가?
• RQ2 {1,p} 케이스를 q>1인 {q,p}로 일반화할 수 있는가, 이 경우에도 다항 시간 해법이 유지되는가?
• RQ3 비단위 짧은 작업 길이의 존재가 단위 길이 케이스와 비교해 문제의 복잡도에 본질적인 영향을 미치는가?
• RQ4 이전에 주장한 것처럼 {q,2q} 케이스에 대해 다항 시간 알고리즘이 존재하는가?
• RQ5 두 개의 비단위 작업 길이를 갖는 스케줄링 문제를 기존에 알려진 다항 시간 해법으로 변환할 수 있는가?

주요 결과

• 길이 p > q > 1인 두 개의 비단위 작업 길이를 갖는 스케줄링 문제의 강한 NP-완전성은 스케줄링 이론 분야의 미해결 문제를 해결한다.
• 증명은 고정된, 일정한 길이가 1보다 큰 경우에도 문제의 계산 복잡도가 여전히 해결 불가능함을 보여준다.
• 조기 및 지연 마감 시간을 갖는 작업 쌍을 포함하는 보조 문제 AUX(p,q)는 SAT 축소를 통해 NP-완전임이 입증된다.
• AUX(p,q)에서 원래 문제로의 축소는 다항 시간 내에 이루어지며, 타당성도 유지되므로 원래 문제의 NP-완전성이 확립된다.
• 이 결과는 이전에 {q,2q} 케이스에 대해 다항 시간 알고리즘이 존재한다고 주장한 바와 정면으로 배치되며, P=NP가 아닌 한 그러한 알고리즘이 존재할 수 없음을 보여준다.
• 다항 시간 해법이 가능한 유일한 경우는 한 작업 길이가 단위(1)인 경우이며, 이 경우 선형 프로그래밍 공식화를 통해 단위 작업를 사실상 선점 가능한 것으로 취급할 수 있다.