[논문 리뷰] Schematic HN stratification for families of principal bundles and lambda modules

Sudarshan Gurjar, Nitin Nitsure|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 28.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 5인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 특성 0에서 곡선 위의 주 G-bundle 가족에 대해 개략적 Harder-Narasimhan (HN) 분할을 수립하며, 각 HN 분할이 유니버설 성질을 가진 국소적으로 닫힌 부분스킴임을 증명한다. 또한 이는 임의의 차원과 혼합 특성에서의 순수 $Λ$-모듈의 평탄한 가족으로 일반화되며, 고정된 HN 유형을 가진 $Λ$-모듈의 집합이 아르틴 스택임을 보인다.

ABSTRACT

For a family of principal bundles with a reductive structure group on a family of curves in characteristic zero, it is known that the Harder Narasimhan type of its restriction to each fiber varies semicontinuously over the parameter scheme of the family. This defines a stratification of the parameter scheme by locally closed subsets, known as the Harder-Narasimhan stratification. In this note, we show how to endow each Harder-Narasimhan stratum with the structure of a locally closed subscheme of the parameter scheme, which enjoys the universal property that under any base change the pullback family admits a relative Harder-Narasimhan reduction with a given Harder-Narasimhan type if and only if the base change factors through the schematic stratum corresponding to that Harder-Narasimhan type. This has the consequence that principal bundles of a given Harder Narasimhan type form an Artin stack. We also prove a similar result showing the existence of a schematic Harder-Narasimhan filtration for flat families of pure sheaves of $Λ$-modules (in the sense of Simpson) in arbitrary dimensions and in mixed characteristic, generalizing the result for sheaves of ${\mathcal O}$-modules proved earlier by Nitsure. This again has the implication that $Λ$-modules of a fixed Harder-Narasimhan type form an Artin stack.

연구 동기 및 목표

• 특성 0에서 곡선 위의 주 G-bundle 가족의 Harder-Narasimhan 분할에 개략적 구조를 수립하는 것.
• 각 HN 분할이 다음과 같은 유니버설 성질을 가짐을 증명하는 것: 밑변환을 통해 분할을 통과시키는 것은, 당겨진 가족이 일정한 HN 유형을 가질 때이고 그때에만 가능하다.
• Simpson의 의미에서 순수 $Λ$-모듈의 평탄한 가족(프로젝티브 스킴 위에서)에 대해 개략적 HN 분할을 임의의 차원과 혼합 특성으로 일반화하는 것.
• 고정된 HN 유형을 가진 $Λ$-모듈의 부분스택이 대수적 스택임을 보이는 것. 이는 $Λ = Ó$인 경우 Nitsure의 결과를 확장하는 것이다.
• 적절한 조건 하에서 이러한 스택에 대해 유한형 아틀라스의 존재성과 유계성을 확립하는 것.

제안 방법

• 주 G-bundle의 표준 감소를 이용해 닫힌 양의 웨일 카르테시안 $τ \subset \mathbb{Q} \otimes X_*(T)$ 내에서 HN 유형을 정의한다.
• 모듈러 이론적 유니버설 성질을 통해 국소적으로 닫힌 부분스킴으로서 $S^\tau(E) \subset S$를 구성한다.
• 힐베르트 스킴 기법과 HN 필터링을 매개하는 쿼트 스킴의 무분기성(unchanged) 성질을 적용하여 개략적 구조를 증명한다.
• HN 필터링의 길이에 대한 귀납법을 사용하여, 순차적 몫을 통해 문제를 더 낮은 길이의 경우로 환원한다.
• 분할된 거의 다항성 미분 연산자층 $Λ$의 존재를 활용하여 $Λ$-모듈의 구조와 순수성 조건을 정의한다.
• 상대적 HN 필터링이 유일하고 밑변환과 호환됨을 증명함으로써, 개략적 분할이 잘 정의됨을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 주 G-bundle 가족의 Harder-Narasimhan 분할에 자연스러운 스킴 구조를 줄 수 있는가?
• RQ2 개략적 HN 분할이 고정된 유형의 상대적 HN 필터링을 허용하는 밑변환을 분류하는 유니버설 성질을 가질 수 있는가?
• RQ3 개략적 HN 분할을 혼합 특성과 임의의 차원에서의 $Λ$-모듈 가족으로 확장할 수 있는가?
• RQ4 적절한 평탄성 및 순수성 조건 하에서 고정된 HN 유형을 가진 $Λ$-모듈이 대수적 스택을 이룰 수 있는가?
• RQ5 고정된 HN 유형을 가진 $Λ$-모듈의 스택이 어떤 조건에서 유한형 아틀라스를 가질 수 있는가?

주요 결과

• 주 G-bundle 가족의 매개변수 스킴 $S$ 내에서 각 Harder-Narasimhan 분할 $S^\tau(E)$는 원하는 유니버설 성질을 가진 유일한 국소적으로 닫힌 부분스킴의 구조를 가진다.
• $Λ$-모듈의 스킴적 HN 분할은 HN 필터링의 길이에 대한 내림차순 귀납법을 통해 Quot 스킴과 무분기 사상들을 이용하여 구성된다.
• 첫 번째 HN 몫을 매개하는 Quot 스킴의 접선 공간은 자명하므로, Quot 사상은 무분기이며 따라서 닫힌 매립이다.
• 고정된 HN 유형 $\tau$를 가진 $Λ$-모듈의 스택 $\Lambda Coh_{X/S}^\tau$는 아르틴 스택 $\Lambda Coh_{X/S}$의 국소적으로 닫힌 부분스택이다.
• 반정적 $Λ$-모듈에 대해 유계성이 성립할 경우, 각 스택 $\Lambda Coh_{X/S}^\tau$는 $S$ 위에서 유한형 아틀라스를 가진다. 이는 Nitsure의 결과를 일반화한다.
• 이 구성은 임의의 특성, 포함 혼합 특성에서도 성립하며, 국소적으로 노에테르 기저 위의 프로젝티브 스킴 가족에 적용 가능하다.