[논문 리뷰] Scheme Dependence and Multiple Couplings

I. Jack, H. Osborn|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 08.

Particle physics theoretical and experimental studies참고 문헌 9인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 결합 상수를 가진 양자장이론에서의 체계 의존적 재정의에 대한 프레임워크를 수립하며, 1차원 분리 가능(1PR) 기여가 이물성 차원의 반대칭 부분에 흠뻑 스며들어 물리적으로 무의미하다는 것을 보여준다. 주요 결과는 ${\cal N}=1$ 초대칭 이론에서 네 루프까지의 체계 불변 양을 체계적으로 식별할 수 있는 방법을 제공함으로써, 이물성 차원과 베타함수에 대한 보편적이고 체계에 의존하지 않는 기여를 추출할 수 있게 한다.

ABSTRACT

For theories with multiple couplings the perturbative $β$-functions for scalar, Yukawa couplings are expressible in terms of contributions corresponding to one particle irreducible graphs and also contributions which are one particle reducible depending on the anomalous dimension. Here we discuss redefinitions, or changes of scheme, which preserve this structure. The redefinitions allow for IPR contributions of a specific form, as is necessary to encompass the relation between MS and momentum subtraction renormalisation schemes. Many multiply 1PR terms in the transformed $β$-function are generated but these can all be absorbed into antisymmetric contributions to the anomalous dimensions which are essentially arbitrary and can be discarded. As an illustration the results are applied to the scheme dependence of the anomalous dimension, which determines the $β$-function, for ${\cal N}=1$ supersymmetric scalar fermion theories in four dimensions up to four loops.

연구 동기 및 목표

• 다중 결합 상수를 가진 이론에서 베타함수의 구조를 명확히 하며, 특히 장 스케일링에 의해 유도되는 1차원 분리 가능(1PR) 기여의 역할을 밝히는 것.
• 1PI/1PR 기여의 구조를 유지하는 결합 상수 재정의의 범주를 규명하여 다양한 재규합 체계 간의 일관성을 확보하는 것.
• ${\cal N}=1$ 초대칭 스칼라- Fermion 이론에 이 형식을 적용하여, 베타함수가 이물성 차원에 의해 완전히 결정됨을 보여주는 것.
• 대칭성과 일관성 조건을 이용해 세 루프와 네 루프에서 이물성 차원과 베타함수에 대한 체계에 의존하지 않는 기여를 추출하는 것.
• 네 루프 결과에서 나타나는 특정 초월 상수(예: $\zeta(3)$, $\zeta(5)$)가 체계에 의존하지 않으며, 더 낮은 순서의 기여로 환원되지 않는 새로운 위상도를 반영한다는 것을 보여주는 것.

제안 방법

• 무한소 결합 상수 재정의에 따른 베타함수의 변환 법칙을 유도하며, 이물성 차원 행렬 $\gamma_{ij}$ 를 통해 1PI와 1PR 기여를 구분한다.
• 1PI/1PR 기여의 구조를 유지하기 위해, 오직 $ (g\,c)^I $ 형태의 1PR 기여만 允허되며, 이때 $c$ 는 반대칭이어야 한다는 것을 규명한다.
• 이러한 1PR 항에 의해 유도되는 이물성 차원의 반대칭 부분은 물리적으로 관측 불가능하며, 일반적으로 무시할 수 있음을 보여준다. 이로 인해 오직 1PI 기반 기여만 남는다.
• ${\cal N}=1$ 초대칭 이론에 이 형식을 적용하며, NSVZ 베타함수 형태가 특정 체계에 의존하며, 이 형태가 유지되는 조건을 규명한다.
• 일관성 조건과 [4] 및 [5]의 기존 결과를 활용하여 네 루프 다이어그램 계수의 선형 조합을 통해 체계 불변성을 도출한다.
• 특정 다이어그램 계수만 비영이 되는 최소 체계를 구성하여, 체계에 의존하지 않는 부분을 분리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중 결합 상수 양자장이론에서, 어떤 결합 상수 재정의가 베타함수의 1PI/1PR 기여의 구조를 유지하는가?
• RQ2 이물성 차원을 포함한 재정의를 통해, 베타함수의 1PR 기여를 체계적으로 흠뻑 스며들게 하거나 제거할 수 있는가?
• RQ3 ${\cal N}=1$ 초대칭 이론에서 네 루프 다이어그램 계수의 체계 불변 조합은 무엇인가?
• RQ4 a-정리 또는 기타 일관성 조건을 사용해, 저차수 데이터로부터 이물성 차원의 체계에 의존하지 않는 부분을 추출할 수 있는가?
• RQ5 새로운 위상도(예: $c_{3D}, c_{4K}$)는 본질적으로 체계에 의존하지 않는 새로운 초월 상수를 초래하는가?

주요 결과

• 베타함수의 1PR 기여는 특정한 형태로 제약을 받으며, 이는 이물성 차원의 반대칭 부분과 관련되어 있어 1PI 카운터텀의 기여와 일관성을 유지한다.
• 이러한 1PR 항에 의해 발생하는 이물성 차원의 반대칭 기여는 물리적으로 관측 불가능하며, 일반적으로 무시할 수 있다.
• 네 루프에서 체계 불변 조합으로서 $c_{4A}-c_{4B}-c_{4C}+c_{4D}=0$, $2c_{4A}-2c_{4C}+c_{4E}=-\frac{1}{2}$, $c_{4A}+c_{4B}-2c_{4C}+2c_{4F}=\frac{1}{2}\zeta(3)-\frac{1}{2}$, $c_{4G}=-\frac{5}{2}$ 가 포함된다.
• 비평면 다이어그램의 경우, $2c_{4H}-c_{4I}=0$ 과 $c_{4H}+c_{4J}=-3\zeta(3)$ 는 체계에 의존하지 않으며, $c_{4K}=-10\zeta(5)$ 도 체계에 의존하지 않는다.
• $c_1, c_2, c_{3C}, c_{4G}$ 는 $((1+4x)^{1/2}-1)/4$ 의 전개와 일치하여, 전체 순서에 걸친 패턴이 존재할 가능성이 있음을 시사하지만, 아직 전체적인 유도는 이루어지지 않았다.
• $c_{4F}$ 에서 $\zeta(3)$ 과 $c_{4K}$ 에서 $\zeta(5)$ 가 나타나는 것은, 이들이 저차수 기여로 환원되지 않으며 진정으로 새로운 위상도에서 기인한 것임을 나타낸다.