[논문 리뷰] Schlomilch and Bell Series for Bessel's Functions, with Probabilistic Applications

E. Ostrovsky, L. Sirota|ArXiv.org|2008. 04. 01.

Mathematical Inequalities and Applications참고 문헌 11인용 수 22

한 줄 요약

이 논문은 수정된 베ssel 함수에 대한 슈뢰밀히 및 벨 급수를 도입하여, 그 점점 커지는 성질과 비점점성 성질을 규명하고, 독립적인 확률변수의 합에 대한 모멘트 부등식과 연관지운다. 이는 로젠탈 유형의 모멘트 부등식에서 정확한 상수를 도출하고, 점점 커지는 경계를 향상시키며, 계산을 위한 수치 알고리즘을 제공한다. 이 결과는 바나흐 공간과 힐버트 공간 내에서 포아송 및 대칭 분포를 가진 확률변수에 적용된다.

ABSTRACT

We have introduced and investigated so-called Shlomilchs and Bells series for modified Bessel's functions, namely, their asymptotic and non-asymptotic properties, connection with Stirling's and Bell's numbers etc. We have obtained exact constants in the moment inequalities for sums of centered independent random variables, improved their asymptotical properties, found lower and upper bounds, calculated a more exact approximation, elaborated the numerical algorithm for their calculation, studied the class of smoothing, etc.

연구 동기 및 목표

• 수정된 베셀 함수에 대한 슈뢰밀히 및 벨 급수를 개발하고 분석하며, 특히 그 점점 커지는 성질과 비점점성 성질을 다루는 것.
• 독립적이고 중심화된 확률변수의 합에 대한 모멘트 부등식에서 정확한 상수를 확립하여 기존의 점점 커지는 경계를 향상시키는 것.
• 이 급수들이 슈뢰더 수, 벨 수, 포아송 분포와 어떻게 연결되는지 이해하고 정밀한 모멘트 추정을 가능하게 하는 것.
• 이 상수들을 계산하기 위한 수치 알고리즘을 제공하고, 이 맥락에서 스무딩 함수의 클래스를 연구하는 것.
• 결과를 힐버트 공간에 값을 갖는 확률변수로 일반화하고, 대칭 확률벡터의 합에 대한 p-노름에 대한 날카운 경계를 도출하는 것.

제안 방법

• 수정된 제1종 베셀 함수 $ I_k(\beta) $를 사용하여 슈뢰밀히 함수 $ F_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} |k|^p \theta^k I_k(\beta) $ 와 $ G_3(p;\theta,\beta) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} k^p \theta^k I_k(\beta) $ 를 정의한다.
• 확률적 해석을 수립한다: $ \mathbb{E}|\tau|^p = e^{-(\lambda+\mu)} F_3(p; \sqrt{\lambda/\mu}, 2\sqrt{\lambda\mu}) $, 여기서 $ \tau = \xi - \eta $, $ \xi, \eta \sim \text{Poisson}(\lambda, \mu) $.
• 일반화된 벨 함수 $ B_4(p;a,\lambda,\gamma) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{|n-a|^p \lambda^n}{e^\lambda \Gamma(n+\gamma+1)} $ 를 도입하며, $ B_3, B_2, B_1 $ 는 특수한 경우이다.
• 석점 방법과 생성함수 기법을 사용하여 $ p \to \infty $ 일 때 $ F_3, G_3, B_1(p) $, 및 $ D_1(p) $ 의 점점 커지는 전개를 유도한다.
• 스털링 수의 제2종과의 관계를 식을 통해 연결한다: $ \mathbb{E}\xi^{(r)} = \lambda^r $ 과 $ x^n = \sum_r s(n,r) x_{(r)} $.
• 이 전개를 활용하여 힐버트 공간 내에서 $ \mathbb{E}\left|\sum \eta(i)\right|^p $ 에 대한 날카운 경계를 유도하며, $ Z(p) = S(p) $ 를 사용한다. 여기서 $ S(p) $ 는 로젠탈 유형 부등식의 날카운 상수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 수정된 베셀 함수에 대한 슈뢰밀히 및 벨 급수의 점점 커지는 성질과 비점점성 성질은 무엇인가?
• RQ2 이 급수들은 독립적이고 중심화된 확률변수의 합에 대한 모멘트 부등식에서 정확한 상수를 유도하는 데 어떻게 사용될 수 있는가?
• RQ3 이 급수들과 슈뢰더 수, 벨 수, 포아송 분포 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ4 유도된 경계들은 로젠탈 유형 부등식에서 기존의 점점 커지는 추정치를 어떻게 향상시키는가?
• RQ5 대칭이고 힐버트 공간에 값을 갖는 확률변수의 합에 대한 p-노름에 대한 날카운 상수는 무엇이며, 이는 베셀 함수와 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 독립적이고 중심화된 확률변수의 합에 대한 로젠탈 모멘트 부등식에서 정확한 상수는 $ G(p) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^p}{e \cdot n!} $ 로 주어지며, $ \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{20} \log p / p) \leq G(p) \leq \exp(X(p)) \cdot (1 + C_{19} \log p / p) $ 를 만족한다. 여기서 $ X(p) = \frac{p}{e} \log \left( \frac{p}{e} \right) $.
• $ p \to \infty $ 일 때, $ G(p) \sim \frac{p}{e \log p} \left[ 1 + \frac{\log \log p}{\log p} + \frac{1 + \log t}{\log p} + \frac{\log^2 \log p}{\log^2 p} + o\left( \frac{\log \log p}{\log^2 p} \right) \right] $, 여기서 $ t $ 는 분산과 관련된 매개변수이다.
• 대칭이고 힐버트 공간에 값을 갖는 확률변수의 합에 대한 p-노름에 대한 날카운 상수 $ Z(p) = S(p) $ 는 $ \sup_{p \geq 4} Z(p)/g(p) = C_9 \approx 1.53572 $ 과 $ \sup_{p \geq 15} Z(p)/h(p) = C_{11} \approx 1.03734 $ 를 만족한다.
• $ t \in (0, 1/2] $ 일 때, $ R(p,t) = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p $, 여기서 $ \nu_1, \nu_2 \sim \text{Poisson}(t) $ 이며, $ R(p,t) = 2e^{-2t} \sum_{n=1}^{\infty} n^p I_n(2t) = e^{-2t} F_2(p; 2) $ 를 만족하며, $ \lim_{p \to \infty} R(p,t)/g(p) = 1 $.
• 함수 $ Q^{p}(p,A,D) \cdot (D^2/A)^{1/(p-2)} = \mathbb{E}|\nu_1 - \nu_2|^p = e^{-2t} F_2(p;2) $ 이며, $ t = 0.5(A/D^p)^{1/(p-2)} $ 이고, $ R(p,t) $ 는 점점 커지는 경향으로 $ \left[ t M(p/t) \right]^{1 - tM(p/t)/p} \left(1 + o(\log p / p) \right) $ 로 수렴한다.
• 수치 표는 $ u(t) = \sup_{p \geq 4} R(p,t)/g(p) $ 가 $ t=0.5 $ 에서 1.53572 에서부터 $ t=0.2 $ 에서 1.2163 으로 감소함을 보여주며, 이는 $ t $ 가 감소할수록 농도가 향상됨을 시사한다.