[논문 리뷰] Schoenberg's Problem on Positive Definite Functions

Alexander Koldobsky|ArXiv.org|1992. 10. 19.

Mathematics and Applications참고 문헌 14인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 1938년 숄렌베르크의 문제를 해결하여, $ n \geq 3 $ 이고 $ q > 2 $ 일 때, 모든 $ \beta > 0 $ 에 대해 함수 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 는 정의되지 않음을 증명한다. 따라서 $ B_n(q) = \emptyset $ 이다. $ n = 2 $ 일 때는 $ B_2(q) = (0,1] $ 임을 보여, 모든 차원과 $ q $-노름에 대해 이러한 함수의 분류를 완성한다.

ABSTRACT

If $n \ge 3$, $q>2$ and $β> 0$ then the function $\exp(-(|x_1|^q+|x_2|^q+\dots+|x_n|^q)^{β/q})$\ is not positive definite. This result gives an answer to a question posed by I.J.~Schoenberg in 1938. This text is an authorized English translation of the paper published in Russian in Algebra and Analysis 3(1991), \#3, p.78--85.

연구 동기 및 목표

• I.J. 숄렌베르크의 1938년 열린 문제를 해결하기 위해, $ q > 2 $ 일 때 $ \mathbb{R}^n $ 에서 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 의 정의성에 대해 연구한다.
• 특히 $ n \geq 3 $ 일 때, $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 가 $ \mathbb{R}^n $ 에서 정의되는 $ \beta > 0 $ 의 정확한 집합 $ B_n(q) $ 을 규명한다.
• Fourier 분석과 관련 확률 측도의 모멘트 조건을 사용하여, $ n \geq 3 $ 일 때는 그러한 $ \beta > 0 $ 가 존재하지 않음을 증명하고, 이는 $ B_n(q) = \emptyset $ 를 의미한다.
• 남은 경우를 해결하기 위해 $ B_2(q) = (0,1] $ 을 증명함으로써 분류를 완성한다.
• $ \mathbb{R}^n $ 에서 $ f(\|x\|_q) $ 가 특성 함수가 되는 짝수 함수 $ f $ 의 집합인 클래스 $ \phi_n(q) $ 의 구조를 조사하고, $ n \geq 3 $ 이며 $ q > 2 $ 일 때는 $ q > 2 $ 일 때만 상수 함수 $ f \equiv 1 $ 이 $ \phi_n(q) $ 에 속할 수 있음을 보여준다.

제안 방법

• Bochner의 정리를 활용하여, $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 의 정의성과 $ f(t) = \exp(-|t|^\beta) $ 를 특성 함수로 가지는 확률 측도 $ \nu $ 의 존재성 간의 연관성을 설정한다.
• 동차 분포의 Fourier 변환과 해석적 계속을 적용하여, $ \beta \in (-n, qn) $ 에 대해 $ \|x\|_q^\beta $ 의 Fourier 변환에 대한 적분 표현을 유도한다.
• Lemma 5 를 사용하여 $ \|x\|_q^\beta $ 의 Fourier 변환을 $ \gamma_q(t\xi_k) $ 의 곱을 포함하는 적분으로 표현한다. 여기서 $ \gamma_q $ 는 대칭 $ q $-안정 밀도의 Fourier 변환을 뜻한다.
• Fubini 정리를 적용하여, $ |\xi_k| $ 와 Fourier 변환의 거듭제곱을 포함하는 다중선형 적분 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $ 을 계산하고, 이는 $ S_q(\alpha) $ 의 곱으로 분해된다.
• 유한한 $ \beta $-차 모멘트를 가진다 는 가정 하에, 적분 $ J_n $ 이 양수여야 하지만, $ S_q $ 함수의 구조상 $ \alpha_k \in (-1,0) $ 이고 $ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ 일 때 음수 값이 되므로 모순을 이끌어낸다.
• Gamma 함수 $ \Gamma(-\beta/q) $ 의 부호 분석을 통해 경우를 구분한다: $ \beta \in (0,2) $ 에서는 음수, $ \beta \in (-1,0) $ 에서는 양수이며, 이는 Fourier 변환의 부호와 관련되어 모순을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $ q > 2 $ 이고 $ n \geq 3 $ 일 때, 어떤 $ \beta > 0 $ 에 대해 함수 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 가 $ \mathbb{R}^n $ 에서 정의되는가?
• RQ2 $ n = 2 $, $ q > 2 $ 일 때, 이러한 $ \beta $ 값의 정확한 집합 $ B_n(q) $ 는 무엇이며, 추측된 바와 같이 $ (0,1] $ 과 일치하는가?
• RQ3 $ n \geq 3 $, $ q > 2 $ 일 때, $ f(\|x\|_q) $ 가 특성 함수가 되는 비상수 함수 $ f \in \phi_n(q) $ 가 존재할 수 있는가?
• RQ4 특성 함수 $ f \in \phi_n(q) $ 와 관련된 측도 $ \nu $ 에 대한 모멘트 조건은 무엇이며, 이러한 함수의 존재를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 특히 $ \|x\|_q^\beta $ 의 Fourier 변환의 부호, 특히 그 부호가 $ \nu $ 의 유한한 $ \beta $-차 모멘트를 가진다 는 가정 하에 어떻게 모순을 일으키는가?

주요 결과

• $ n \geq 3 $ 이고 $ q > 2 $ 일 때, 집합 $ B_n(q) $ 는 공집합이다: 모든 $ \beta > 0 $ 에 대해 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 는 정의되지 않는다.
• $ n = 2 $ 일 때, $ B_2(q) = (0,1] $ 이다. 이는 $ \exp(-\|x\|_q^\beta) $ 가 정의되는 것과 $ \beta \leq 1 $ 이라는 조건이 동치임을 확인한다.
• $ n \geq 3 $ 일 때, $ \beta \in (0,2) $ 에 대해 $ \phi_n(q) $ 와 관련된 측도 $ \nu $ 의 $ \beta $-차 모멘트는 무한대이다. $ n = 2 $ 일 때는 $ \beta \in (1,2) $ 에 대해 무한대이다.
• $ n \geq 4 $ 일 때, $ \beta \in (-1,0) $ 에 대해 $ \beta $-차 모멘트는 무한대이며, 이는 $ \nu $ 의 극단적인 尾행동을 나타낸다.
• $ \|x\|_q^\beta $ 의 Fourier 변환에서 유도된 적분 $ J_n(\alpha_1, \dots, \alpha_{n-1}) $ 는 특정한 매개변수 조건 하에서 음수가 됨을 보여, 만약 모멘트가 유한하다면 이 적분이 음수가 될 수 없음을 고려할 때 모순이 발생한다.
• 모순은 $ \Gamma(-\beta/q) $ 의 부호와 곱 $ S_q(\alpha_1) \cdots S_q(-\sum \alpha_k + \beta) $ 의 부호에서 기인한다. 이 곱은 $ -\sum \alpha_k + \beta \in (2, \min(4,q)) $ 일 때 음수가 되며, 그러나 적분은 유한한 모멘트를 가진다면 음수가 될 수 없다.