[논문 리뷰] Schröder Paths and Pattern Avoiding Partitions

Sherry H.F. Yan|ArXiv.org|2008. 05. 16.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 15인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 12312-피回避 및 12321-피回避 분할과 수준이 짝수인 곳에 정점이 없는 반장이 n인 슈뢰더 경로 사이의 일대일 대응을 구축한다. 이를 위해 UH-free 슈뢰더 경로를 중간 구조로 사용한다. 이러한 분할의 블록 수에 따른 세밀한 수세기 문제는 이러한 경로에서 정점의 수로 환원되며, 기약 분할은 생성함수를 통해 기울인 다이크 경로와 연결된다.

ABSTRACT

In this paper, we show that both 12312-avoiding partitions and 12321-avoiding partitions of the set $[n+1]$ are in one-to-one correspondence with Schröder paths of semilength $n$ without peaks at even level. As a consequence, the refined enumeration of 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions according to the number of blocks can be reduced to the enumeration of certain Schröder paths according to the number of peaks. Furthermore, we get the enumeration of irreducible 12312-avoiding (resp. 12321-avoiding) partitions, which are closely related to skew Dyck paths.

연구 동기 및 목표

• 12312-피回避 및 12321-피回避 분할 [n+1]과 수준이 짝수인 곳에 정점이 없는 반장이 n인 슈뢰더 경로 사이의 일대일 대응을 수립하기.
• 블록 수에 따라 이러한 패턴 피回避 분할을 세는 문제를 슈뢰더 경로에서 정점 수 계산으로 환원하기.
• 기약 12312- 및 12321-피回避 분할을 생성함수를 통해 기울인 다이크 경로와 연결하여 특성화하기.
• 중간 조건으로 UH-free 슈뢰더 경로를 사용하여 구성적인 이분법을 제공하기.
• 격자 경로 이론과 생성함수 항등식을 통해 두 개의 서로 다른 분할 패턴의 수세기를 통합하기.

제안 방법

• 분할의 표준 순차적 형태를 정의하고, 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값을 사용하여 내부 단어를 가진 블록으로 분할을 분해하기.
• 각 왼쪽에서 오른쪽으로 최댓값 뒤에 오는 원소 수를 추적하여 12312-피回避 분할에서 UH-free 슈뢰더 경로로의 사상 σ를 구성하기.
• 증가하는 내부 단어를 사용한 동일한 구조적 분해를 통해 12321-피回避 분할에 대한 사상 φ 정의하기.
• 단계의 순서를 재배열하여 UH-free 슈뢰더 경로에서 정점이 짝수 수준에 없는 슈뢰더 경로로 매핑하는 변환 ψ 도입하기.
• UH-free 경로와 기약 경로의 생성함수로 각각 f(x)와 f′(x)를 정의하여 생성함수 시리즈 모델링하기.
• 닫힌 형식의 생성함수 유도: f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²)) 및 f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²)), 기울인 다이크 경로와 연결하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 12312-피回避(또는 12321-피回避) 분할 [n+1]과 수준이 짝수인 곳에 정점이 없는 슈뢰더 경로 사이에 조합적 이분법이 존재하는가?
• RQ2 블록 수에 따라 이러한 분할을 세는 문제는 슈뢰더 경로에서 정점 수 계산으로 환원될 수 있는가?
• RQ3 기약 12312- 및 12321-피回避 분할과 기울인 다이크 경로 사이의 연결 고리는 무엇인가?
• RQ4 UH-free 슈뢰더 경로 및 기약 경로의 생성함수는 알려진 조합적 수열과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 맥락에서 패턴 피回避를 결정하는 분할 블록 내부 단어의 구조적 특성은 무엇인가?

주요 결과

• 12312-피回避(또는 12321-피回避) 분할 [n+1]에서 블록 수가 k+1 개인 경우의 수는 반장이 n인 UH-free 슈뢰더 경로에서 정점 수가 k인 경우의 수와 같으며, 이는 ∑_{j=k}^{n} (1/j) * (j choose k) * (j choose k−1) * (n choose j)로 주어진다.
• 12312-피回避(또는 12321-피回避) 분할 [n+1]과 반장이 n인 정점이 짝수 수준에 없는 슈뢰더 경로 사이에 이분법이 존재한다.
• 반장이 n인 UH-free 슈뢰더 경로의 생성함수는 f(x) = (1−x−√(1−6x+5x²))/(2(x−x²))이며, 이는 수열 A006318과 일치한다.
• 12312-피回避(또는 12321-피回避) 기약 분할 [n+1]의 생성함수는 f′(x) = 2/(1+x+√(1−6x+5x²))이며, 이는 반장이 n인 기울인 다이크 경로 중 아래로 내려가는 단계로 끝나는 경로 수(A033321)에 해당한다.
• 기약 12312- 및 12321-피回避 분할은 정점이 수준 1에 없는 UH-free 슈뢰더 경로와 이분법적으로 대응된다.
• 12312- 및 12321-피回避 분할의 블록 수에 따른 세밀한 수세기는 구성된 이분법을 통해 슈뢰더 경로에서의 정점 수 계산으로 완전히 환원된다.