[논문 리뷰] Schubert varieties and distances between subspaces of different dimensions

Ke Ye, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|2014. 07. 03.

Advanced Numerical Analysis Techniques인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 그라스만 거리의 자연스러운 확장을 제안하며, 그라스만다양체 내의 쇼우베르트 다양체 위에 점에서의 거리로 정의함으로써 서로 다른 차원을 가진 부분공간 간의 거리를 정의한다. 이 거리가 표준 그라스만 거리를 일반화함을 입증하고, SVD를 통해 계산 가능하며, 임베딩된 환경공간에 종속되지 않아 기하학적으로 일관되고 수치적으로 안정된, 비동차 부분공간에 대한 거리 측도를 제공한다.

ABSTRACT

We resolve a basic problem on subspace distances that often arises in applications: How can the usual Grassmann distance between equidimensional subspaces be extended to subspaces of different dimensions? We show that a natural solution is given by the distance of a point to a Schubert variety within the Grassmannian. This distance reduces to the Grassmann distance when the subspaces are equidimensional and does not depend on any embedding into a larger ambient space. Furthermore, it has a concrete expression involving principal angles, and is efficiently computable in numerically stable ways. Our results are largely independent of the Grassmann distance --- if desired, it may be substituted by any other common distances between subspaces. Our approach depends on a concrete algebraic geometric view of the Grassmannian that parallels the differential geometric perspective that is well-established in applied and computational mathematics.

연구 동기 및 목표

• 서로 다른 차원을 가진 부분공간 간의 기하학적으로 일관된 거리 정의라는 근본적 문제를 해결하기 위해.
• 오직 동차 부분공간에만 유효한 표준 그라스만 거리를, 비동차 부분공간의 더 일반적인 경우로 확장하기 위해.
• 환경공간 임베딩과 좌표 선택에 종속되지 않는 거리 측도를 제공하고, 대수기하학에 기반한 것이다.
• 포함관계와 포함관계의 역전 관계 사이에 부피 이중성을 수립하여, 그라스만다양체 상의 확률과 기하학을 연결하기 위해.
• 표준 그라스만 거리로 축소되는 수치적으로 안정된 SVD 기반의 방법을 제공하기 위해.

제안 방법

• k차원 부분공간 A와 l차원 부분공간 B(여기서 k ≤ l) 사이의 거리는, B에 포함된 k차원 부분공간 중 가장 가까운 것까지의 거리로 정의되며, 이는 B에서 A를 포함하는 l차원 부분공간 중 가장 가까운 것까지의 거리와 동치이다.
• 이 거리는 그라스만다양체 Gr(k,n) 내의 쇼우베르트 다양체까지의 지오데식 거리로 계산되며, 그라스만다양체의 대수기하학적 구조를 활용한다.
• 이 방법은 직교 투영과 주각을 사용하여 행렬 곱의 특이값을 통해 거리를 표현함으로써, SVD를 통한 효율적이고 수치적으로 안정된 계산을 가능하게 한다.
• 이 접근법은 부분공간과 그들의 포함관계를 대칭 등급행렬의 공간에 매립함으로써, 그라스만다양체 상의 리만기하학과 부피형식을 활용할 수 있도록 한다.
• 논문은 다음과 같은 부피 이중성을 유도한다: 임의의 l차원 부분공간이 A를 포함할 확률은, 임의의 k차원 부분공간이 B에 포함될 확률과 같으며, 이는 모두 k, l, n에만 의존한다.
• 정규직교기저의 선택에 종속되지 않으며, 더 높은 차원의 공간으로의 임베딩도 필요로 하지 않는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 서로 다른 차원을 가진 부분공간 간의 그라스만 거리를 어떻게 자연스럽게 확장할 수 있는가?
• RQ2 비동차 부분공간 간의 거리에 대응하는 그라스만다양체 내 기하적 대상은 무엇인가?
• RQ3 서로 다른 차원을 가진 부분공간 간의 거리 측도 중, 부분공간이 동차일 경우 표준 그라스만 거리로 축소되며, 좌표 변화에 대해 불변인 것은 존재하는가?
• RQ4 비동차 부분공간 간의 거리를 표준 수치선형대수 도구를 사용하여 안정적이고 효율적으로 계산할 수 있는가?
• RQ5 그라스만다양체 상에서 포함관계의 확률과 기하학적 거리 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• k차원 부분공간 A와 l차원 부분공간 B(여기서 k ≤ l) 사이의 거리는, B에 포함된 k차원 부분공간들의 쇼우베르트 다양체까지의 지오데식 거리로 정의되며, 이 값은 B에서 A를 포함하는 l차원 부분공간들의 쇼우베르트 다양체까지의 거리와 정확히 일치한다.
• 이 거리는 표준 그라스만 거리를 일반화한다: k = l일 경우, 주각과 SVD를 통한 고전적 그라스만 거리로 정확히 축소된다.
• 이 거리는 정규직교기저의 선택에 종속되지 않으며, 어떤 환경공간으로의 임베딩에도 의존하지 않아 좌표 불변성을 확보한다.
• 이 거리는 특이값 분해(SVD)를 통해 효율적으로 계산 가능하며, 부분공간 간 주각을 포함하는 구체적인 표현이 존재한다.
• 고정된 l차원 부분공간에 포함된 k차원 부분공간들의 쇼우베르트 다양체의 상대부피는, 고정된 k차원 부분공간을 포함하는 l차원 부분공간들의 쇼우베르트 다양체의 상대부피와 동일하며, 이 공통값은 감마함수와 이항계수를 포함한 닫힌 형태의 표현식으로 주어진다.
• 임의의 l차원 부분공간이 A를 포함할 확률은, 임의의 k차원 부분공간이 B에 포함될 확률과 같으며, 이 확률은 A와 B의 구체적 형태에 관계없이 k, l, n에만 의존한다.