[논문 리뷰] Schwarz lemma and Kobayashi metrics for holomorphic and pluriharmonic functions

Miodrag Mateljević|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 21.

Holomorphic and Operator Theory참고 문헌 14인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 여러 복소변수에서의 정칙 함수와 다우리조화 함수에 대해 코바야시 거리와 쌍곡기하학을 사용하여 고전적 슈바르츠 보조정리를 일반화한다. 이는 단위 구, 다각형판, 구멍이 있는 원판, 스트립과 같은 쌍곡도메인에 대한 최근 결과들을 통합하고 확장하는 코바야시-슈바르츠 보조정리의 기하학적 형태를 수립하며, 불변 거리와 불변 라플라스 연산자를 통해 도함수에 대한 정확한 추정치를 제공한다.

ABSTRACT

The Schwarz lemma as one of the most influential results in complex analysis and it has a great impact to the development of several research fields, such as geometric function theory, hyperbolic geometry, complex dynamical systems, and theory of quasi-conformal mappings. In this note we mainly consider various version of Schwarz lemma and its relatives related to holomorphic functions including several variables.

연구 동기 및 목표

• 코바야시 기하학을 사용하여 고전적 슈바르츠 보조정리 결과를 여러 복소변수로 확장한다.
• 칼라주-보르린, 채인, 디아카노프 등이 최근에 얻은 결과들을 통합하기 위한 공통 프레임워크를 제공한다.
• 단위 구, 다각형판, 구멍이 있는 원판, 스트립과 같은 도메인에 적용 가능한 코바야시-슈바르츠 보조정리의 기하학적 형태를 수립한다.
• 불변 거리와 불변 라플라스 연산자를 통해 정칙 함수와 다우리조화 함수의 행동을 분석한다.
• 복소도메인에서 쌍곡거리와 허구적 거리를 사용하여 도함수의 정확한 추정치를 도출한다.

제안 방법

• 정칙 사상에 대한 도함수 추정치를 유도하기 위해 아흐르포르스-슈바르츠 보조정리를 기본 도구로 사용한다.
• 다변수로의 부등식 일반화를 위해 코바야시-슈바르츠 보조정리의 기하학적 형태(정리 4)를 도입한다.
• 단위 구 위에서 $\mathcal{M}$-조화 함수와 다우리조화 함수를 연구하기 위해 불변 라플라스 연산자 $\tilde{\triangle}$ 를 적용한다.
• 자기 동형에 대해 불변인 거리와 쌍곡 밀도 $\mathrm{Hyp}_G(z)$ 를 사용하여 정칙 사상 하에서 접선 벡터의 노름을 비교한다.
• 일반적인 경우를 영 도함수 문제로 줄이기 위해 변환 $F = \varphi_{w_1} \circ f \circ \varphi_{z_1}$ 을 유도한다.
• 불변 기울기 $\tilde{D}f(z)$ 를 사용하고, 그와 표준 기울기 $Df(z)$ 사이의 관계를 인자 $s_z = \frac{1 - |z|^2}{2}$ 를 통해 기술한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고전적 슈바르츠 보조정리는 $\mathbb{C}^n$ 내의 쌍곡도메인 간 정칙 사상으로 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 코바야시 거리가 정칙 함수와 다우리조화 함수에 대한 정확한 도함수 추정치 유도에 어떻게 기여하는가?
• RQ3 불변 거리와 불변 라플라스 연산자 $\tilde{\triangle}$ 는 구멍이 있는 원판과 스트립에 대한 최근 결과들을 어떻게 통합하는가?
• RQ4 아흐르포르스-슈바르츠 보조정리는 비정수 곡률을 가진 도메인으로의 사상에 대해 최적의 추정치를 도출하기 위해 어떻게 변형될 수 있는가?
• RQ5 불변 기울기 $\tilde{D}f(z)$, 표준 기울기 $Df(z)$, 쌍곡 거리 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 코바야시-슈바르츠 보조정리의 기하학적 형태(정리 4)에 따르면, $f: \mathbb{B}_n \to G$ 에 대해 $\mathrm{Hyp}_G(fz) \cdot |f'(z)| \leq \frac{1}{s_z^2}$ 이며, 여기서 $s_z = \frac{1 - |z|^2}{2}$ 이다.
• 단위 원판의 구멍이 있는 영역 $\mathbb{U}^\prime$ 에 대한 $f \in \mathcal{O}(\mathbb{B}_n, \mathbb{U}^\prime)$ 에 대해 부등식 $ (1 - |a|^2) |f'(a)| \leq 2|b| \ln \frac{1}{|b|} $ 가 성립하며, 이는 디아카노프의 결과를 복원한다.
• 불변 기울기는 $ s_z^2 |Df(z)| \leq |\tilde{D}f(z)| \leq s_z |Df(z)| $ 를 만족하며, 표준 도함수와 불변 도함수 사이의 연결 고리를 제공한다.
• 모든 $f: \mathbb{B}_n \to G$ 에 대해 접선 벡터 $u$ 에 대해 부등식 $ \mathrm{Hyp}_G(fz) \cdot |u_*|_e \leq M_{\mathbb{B}_2}(a,u) \cdot |u|_e $ 가 성립하며, 이는 점별 도함수 추정치를 일반화한다.
• 다우리조화 함수 $u: \mathbb{B}_n \to (a,b)^m$ 에 대해 불변 라플라스 연산자와 쌍곡기하학을 통해 결과가 확장된다.
• 이 프레임워크는 칼라주-보르린, 채인, 디아카노프, 멜렌티예비치의 결과들을 하나의 불변 거리 접근법에 통합한다.