[논문 리뷰] Schwinger-Keldysh path integral for the quantum harmonic oscillator

Yoni BenTov|arXiv (Cornell University)|2021. 02. 09.

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한 줄 요약

이 논문은 양자 조화진동자에 대한 Schwinger-Keldysh 형식주의의 체계적인 경로적분 유도를 제공하며, 리들란드형 열린 시스템 동역학에 대한 확률을 보존하는 iε 규정을 도입한다. Larkin-Ovchinnikov 경로적분을 통해 전이 진폭, 두 점 상관함수, 그리고 시간 외상관함수(OTOCs)의 생성함수를 체계적으로 유도하며, 기본 상태, 열적 상태, 첫 번째 올라간 상태에 대한 명시적 계산을 통해 이방성 위상과 이차 작용계에서의 그린 함수에 대한 정확한 표현을 도출한다.

ABSTRACT

I review the generating function for quantum-statistical mechanics, known as the Feynman-Vernon influence functional, the decoherence functional, or the Schwinger-Keldysh path integral. I describe a probability-conserving $i\varepsilon$ prescription from a path-integral implementation of Lindblad evolution. I also explain how to generalize the formalism to accommodate out-of-time-ordered correlators (OTOCs), leading to a Larkin-Ovchinnikov path integral. My goal is to provide step-by-step calculations of path integrals associated to the harmonic oscillator.

연구 동기 및 목표

• 양자 통계역학을 위한 Schwinger-Keldysh 생성함수에 대한 교육적이고 단계적인 경로적분 유도를 제공하기 위해.
• 경로적분을 사용하여 리들란드형 열린 시스템 진동에 대한 확률을 보존하는 iε 규정을 개발하기 위해.
• Larkin-Ovchinnikov 경로적분을 통해 Schwinger-Keldysh 형식주의를 일반화하여 시간 외상관함수(OTOCs)를 계산하기 위해.
• 기본 상태, 열적 상태, 첫 번째 올라간 상태에서 조화진동자에 대한 정확한 영향 위상과 그린 함수를 계산하기 위해.
• 쿼런치드 조화진동자에서 위트먼 함수와 OTOCs에 대한 연산자 기반 계산과 경로적분 기반 계산 간의 등가성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 질량을 가진 조화진동자에 대해 전이 진폭과 파동함수를 계산하기 위해 파이먼 경로적분을 사용한다.
• 시간 경로를 두 배로 늘리고 정방향/역방향 장을 도입하여 Schwinger-Keldysh 형식주의를 적용하여 기댓값을 계산한다.
• 영향 위상 Φ(J, J′)을 생성함수의 로그로 유도하며, GF, GD, G<, G>의 경우 그린 함수를 통해 명시적인 표현을 제공한다.
• 정방향 및 역방향 장 간의 교차항을 포함한 네 개의 장 복사본 q0, q′0, q′′0, qf, q′f, q′′f를 사용하여 Larkin-Ovchinnikov 경로적분을 통해 OTOCs에 대한 일반화를 수행한다.
• 소산 시스템에서 확률 보존을 보장하기 위해 액션에 수정된 iε 규정을 구현하며, 복소수 질량과 감쇠 항목을 포함한다.
• 고전적 해와 변동에 대한 명시적 경로적분을 수행하며, 그린 함수와 경계 조건을 사용하여 전체 생성함수를 계산한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 조화진동자에 대해 경로적분 방법을 사용하여 Schwinger-Keldysh 경로적분을 체계적으로 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 기본 상태, 열적 상태, 첫 번째 올라간 상태에서 조화진동자에 대한 영향 위상의 형태는 무엇인가?
• RQ3 리들란드형 열린 시스템 진동에서 확률을 보존하기 위해 iε 규정을 어떻게 수정할 수 있는가?
• RQ4 시간 외상관함수(OTOCs)를 계산하기 위한 이차계에서의 Larkin-Ovchinnikov 경로적분의 구조는 어떻게 되는가?
• RQ5 쿼런치드 조화진동자에서 위트먼 함수와 OTOCs에 대한 연산자 기반 계산과 경로적분 기반 결과는 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 기본 상태에서 조화진동자의 영향 위상은 Φ(J, J′) = 1/2 ∫∫ dt dt′ [GF(t−t′)J(t)J(t′) − GD(t−t′)J′(t)J′(t′) − G<(t−t′)J(t)J′(t′) − G>(t−t′)J′(t)J(t′)]이며, G<(t) = i/(2m) e^{imt} 및 G>(t) = −i/(2m) e^{−imt}이다.
• 열적 상태에서는 추가 항 ∆(t) = 1/(e^{βm}−1) × i/m cos(mt)가 포함되어 있으며, 이는 덜 함수를 G<(t) = G₀<(t) + ∆(t)로 수정한다.
• m(t < t₀) = m₀ 및 m(t > t₀) = m인 쿼런치드 진동자에서는 덜 그린 함수가 G<(t, t′) = i/(2m₀) ζ(t−t₀)ζ*(t′−t₀)*로 주어지며, 여기서 ζ(t) = ˙G(t) + m₀G(t) 및 G(t) = 1/m sin(mt)이다.
• 첫 번째 올라간 상태에서는 비이차 영향 위상이 도출되며, Φ(J, J′) = Φ₀(J, J′) − i ln[1 − 1/(2m) ∫∫ dt dt′ cos[m(t−t′)] (J(t)−J′(t))(J′(t)−J′(t′))]로 주어지며, 이는 비가우시안 행동을 나타낸다.
• OTOCs를 계산하기 위한 Larkin-Ovchinnikov 경로적분은 정방향 및 역방향 장 간의 교차항을 포함하며, GF, GD, G<, G> 함수를 포함하는 일반화된 영향 위상으로 구성된다.
• iε 규정은 G<(t) = i/(2m) e^{i(1+sign(t)iε)mt}로 이어지며, 감쇠가 존재하는 상황에서 보편성과 확률 보존을 보장한다.