[논문 리뷰] Score Permutation Based Finite Sample Inference for Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) Models

Balázs Csanád Csáji|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 23.

Financial Risk and Volatility Modeling인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 쿼라-맥스이크리스티크 리크레티브 은하모닉스 모델(QMLE) 주위의 정확한, 분포에 종속되지 않는 신뢰 영역을 구성하는 새로운 유한표본 추론 방법인 ScoPe를 제안한다. 이 방법은 모멘트 또는 스테이션가리티 가정 없이도 정확한 신뢰 영역을 생성한다. 스코어 함수 내 잔차를 순열함으로써 ScoPe는 정확한 커버리지 확률을 보장하는 대체 샘플을 생성한다. 이는 중앙극한 이론 및 부트스트랩 방법보다 정확성과 신뢰성 면에서 뛰어나며, 특히 무거운 尾 또는 비대칭 창발에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

A standard model of (conditional) heteroscedasticity, i.e., the phenomenon that the variance of a process changes over time, is the Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedasticity (GARCH) model, which is especially important for economics and finance. GARCH models are typically estimated by the Quasi-Maximum Likelihood (QML) method, which works under mild statistical assumptions. Here, we suggest a finite sample approach, called ScoPe, to construct distribution-free confidence regions around the QML estimate, which have exact coverage probabilities, despite no additional assumptions about moments are made. ScoPe is inspired by the recently developed Sign-Perturbed Sums (SPS) method, which however cannot be applied in the GARCH case. ScoPe works by perturbing the score function using randomly permuted residuals. This produces alternative samples which lead to exact confidence regions. Experiments on simulated and stock market data are also presented, and ScoPe is compared with the asymptotic theory and bootstrap approaches.

연구 동기 및 목표

• 무거운 尾 또는 비대칭 창발에서 QMLE에 대한 정확한, 유한표본 신뢰 영역이 부족한 문제를 해결하기 위해.
• 고차 모멘트나 스테이션가리티 가정 없이도 정확한 커버리지 확률을 제공하는 방법을 개발하기 위해.
• 비정규 또는 비대칭 노이즈에서 자주 실패하는 점근적 및 부트스트랩 방법에 대한 계산적으로 실현 가능한 대안을 제공하기 위해.
• 위험 관리 및 강건 제어에서 QMLE 주위에 теор적으로 타당한 신뢰 집합을 제공함으로써 신뢰할 수 있는 추론을 가능하게 하기 위해.
• 기존의 SPS 방법이 적용되지 않는 비선형, 시계열에 따라 변화하는 이방편 분산 모델인 GARCH에 순열 기반 추론의 적용 범위를 확장하기 위해.

제안 방법

• ScoPe는 QMLE의 잔차를 스코어 함수 내에서 순열함으로써 대체 샘플을 생성하고, 이를 통해 신뢰 영역을 구성한다.
• 이 방법은 순열된 스코어 함수의 순위를 이용해 '순위 필드'를 정의하며, 이는 관측된 데이터와 일치하는 매개변수 값을 식별한다.
• 신뢰 영역은 이 순위 필드의 등고선으로 형성되며, 순열 이론에 의해 정확한 커버리지 확률이 보장된다.
• 이 방법은 분포에 종속되지 않으며 점근적이지도 않으며, 진짜 창발 분포에 대한 지식 없이도 관측된 데이터와 QMLE에만 의존한다.
• 스코어 함수의 구조와 순열 대칭성을 활용함으로써 각 순열마다 QMLE를 재추정할 필요 없이 효율적으로 작동한다.
• 비정상적인 매개변수 영역(예: α+β≥1)을 제외함으로써 비정상적인 GARCH 과정을 유도하는 값을 처리한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무거운 尾 또는 비대칭 창발에서 모멘트나 분포 가정 없이도 정확한 커버리지가 보장되는 유한표본 추론 방법을 개발할 수 있는가?
• RQ2 무거운 尾 또는 비대칭 창발 하에서 ScoPe가 점근적 및 부트스트랩 방법과 비교해 실증적 커버리지와 신뢰 영역 크기 측면에서 어떻게 성능을 내는가?
• RQ3 기존의 SPS 방법이 실패하는 비선형, 시계열에 따라 변화하는 모델인 GARCH에 순열 기반 추론을 어떻게 적응시킬 수 있는가?
• RQ4 QMLE가 편향되어 있거나 데이터가 정상성 가정을 위반할 경우에도 ScoPe는 정확한 커버리지를 유지하는가?
• RQ5 실제 주식 시장 시계열(예: 나스닥 100, S&P 500, FTSE 100)에서 ScoPe의 실용적 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 모의 실험에서 노이즈가 정규분포일 경우 실증적 커버리지가 0.8961, 라플라시안일 경우 0.9147로 명시된 90%의 명시적 수준에 매우 가까운 결과를 보였다.
• 모의 실험에서 ScoPe는 정규분포일 경우 상대적 영역이 0.5324, 라플라시안일 경우 0.6727로, 잔차 부트스트랩(0.7051 및 0.6139)과 레이크리지 리포트 부트스트랩(0.6623 및 0.7681)보다 유의미하게 작았다.
• 실제 주식 시장 데이터(Nasdaq 100, S&P 500, FTSE 100)에서 ScoPe는 잔차 부트스트랩(0.3801, 0.2862, 0.2412)과 유사한 신뢰 영역 크기를 보였으며, 강력한 실용적 적용 가능성을 시사했다.
• 비정상성 가정을 위반하는 '버닝 인' 기간 동안에도 정확한 커버리지를 유지하여 초기화 효과에 대한 강건성을 입증했다.
• ScoPe의 신뢰 영역은 종종 분리되어 있었으며, 이는 특히 진짜 매개변수가 QMLE와 다른 순위 골짜기에 위치할 경우 복잡한 가능도 표면을 반영했다.
• 특히 점근적 이론이 실패하는 비정규 창발 하에서 ScoPe는 커버리지 정확성과 영역 크기 측면에서 점근적 및 부트스트랩 방법을 모두 능가했다.