[논문 리뷰] Scrambled and distributionally scrambled n-tuples

Jana Doleželová|arXiv (Cornell University)|2013. 11. 19.

Mathematical Dynamics and Fractals인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 수정된 모어스 수열을 사용하여 한쪽 이동 공간 위에 동역학계를 구성함으로써, 비가산적인 극한 분포 스케일링 집합이 존재하더라도 스캐일링 삼중항의 존재를 함의하지는 않음을 보여준다. 정밀하게 선택된 블록으로부터의 불변 Mycielski 집합을 구축함으로써, 저자들은 고전적 Li-Yorke 혼돈(삼중항을 포함)이 없는 분포 혼돈(극한 분포 스케일링의 의미에서)이 발생할 수 있음을 보이며, 위상 동역학에서 혼돈 유형의 계층에 관한 오랫동안 미해결이었던 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

This article investigates the relation between the distributional chaos and the existence of a scrambled triple. We show that for a continuous mapping $f$ acting on a compact metric space $(X,d)$, the possession of an infinite extremal distributionally scrambled set is not sufficient for the existence of a scrambled triple. We also construct an invariant Mycielski set with an uncountable extremal distributionally scrambled set without any scrambled triple.

연구 동기 및 목표

• . 논문은 비가산적인 극한 분포 스케일링 집합의 존재가 반드시 스캐일링 삼중항의 존재를 함의하는가를 조사한다.
• 해결하고자 하는 열린 문제: 스캐일링 삼중항이 전혀 없는 시스템이 분포 혼돈일 수 있는가?
• 저자들은 분포적으로 n-스캠블드이지만 n-혼돈이 아닌 동역학계를 구성하고자 한다. 여기서 n=3이다.
• 그들은 2-이동 공간 Σ₂와 수정된 모어스 수열을 사용하여 이러한 시스템을 구축한다.
• 목표는 분포 혼돈이 고전적 Li-Yorke 혼돈보다 토폴로지적 동역학에서 튜플 다이내믹스 측면에서 엄밀히 더 약한 개념임을 보이는 것이다.

제안 방법

• . 구성은 블록 M₀=0 및 Mᵢ=Mᵢ₋₁M̄ᵢ₋₁로 정의된 수정된 모어스 수열을 사용한다. 여기서 M̄ᵢ₋₁은 이진 보수이다.
• limₙ→∞ aₙ/aₙ₊₁ = 0 인 양의 정수 수열 {aₙ}을 사용하여 수열 내 블록의 위치를 정의한다.
• 점 xₐ는 aₙ에 따라 인덱싱된 이진 수열 α ∈ B의 블록 Mᵢᵃ 와 M̄ᵢᵃ 를 번갈아 배치하여 구성된다. 여기서 B는 무한한 불일치를 가진 이진 수열의 비가산 집합이다.
• 분석을 통해 하한 및 상한 분포 함수 Φ 및 Φ*를 이용하여, 이러한 점 xₐ의 집합 D 가 캐럿 집합이면서 극한 분포 2-스캠블드임을 보인다.
• 이 시스템은 X = ⋃ᵢ≥₀ σⁱ(D)로 확장되어 불변 Mycielski 집합을 이룬다.
• 모르스 최소 집합의 분리성과 궤도 분리 및 재귀성에 대한 정교한 분석을 통해 위상적 및 동역학적 성질를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 . 비가산적인 극한 분포 스케일링 집합의 존재는 반드시 스캐일링 삼중항의 존재를 함의하는가?
• RQ2 동역학계가 스캐일링 삼중항을 포함하지 않으면서도 분포 혼돈일 수 있는가?
• RQ3 극한 분포 2-스캠블드이지만 3-스캠블드가 아닌 시스템이 존재하는가?
• RQ4 n-튜플 측면에서 분포 혼돈과 고전적 Li-Yorke 혼돈 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 비가산적인 극한 분포 스케일링과 스캐일링 삼중항이 없는 Mycielski 집합을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• . 논문은 비가산적인 극한 분포 2-스캠블드 집합을 가지지만 3-스캠블드 튜플이 없는 불변 Mycielski 집합 X ⊂ Σ₂를 구성한다.
• 집합 D = {xₐ : α ∈ B} 는 Φᵤᵥ(δ) = 0 (모든 δ < 1에 대해) 이고 Φ*ᵤᵥ ≡ 1 이므로 극한 분포 2-스캠블드임을 보였다.
• 시스템 (X, σ) 는 스캐일링 삼중항을 포함하지 않으며, 임의의 삼중항 (xₐ, xᵦ, xᵧ) 에 대해 lim infₖ→∞ min{d(σᵏxₐ, σᵏxᵦ), d(σᵏxₐ, σᵏxᵧ), d(σᵏxᵧ, σᵏxᵦ)} = 0 이므로 n-스캠블드 튜플의 조건 (2)를 위반한다.
• 집합 X 는 캐럿 집합의 가산 합집합이므로 Mycielski 집합이며, 이동 사상 σ 에 대해 불변이다.
• 이 구성은 α, β ∈ B 이면 두 수열이 무한히 자주 다름을 이용하여 궤도 간 지속적인 분리를 보장한다.
• 결과적으로 분포 혼돈(극한)이 비록 비가산적 설정이라도 고전적 Li-Yorke 혼돈(삼중항 포함)을 함의하지는 않음을 보여준다.