[논문 리뷰] Scrambling speed of random quantum circuits

Winton Brown, Omar Fawzi|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 24.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 30인용 수 53

한 줄 요약

이 논문은 깊이 $O(\log^3 n)$인 무작위 양자 회로가 강한 스캐러밍을 달성함을 입증한다. 즉, 대부분의 하위계가 최대 혼합 상태에 가까워지며, 이를 통해 일정한 비율과 선형 거리를 갖는 양자 오류 수정 부호를 구성할 수 있다. 이는 블랙홀 물리학에서의 빠른 스캐러밍 추측을 해결하며, 이전의 경계보다 훨씬 더 빠른 로그형 깊이에서 스캐러밍이 발생함을 보여준다.

ABSTRACT

Random transformations are typically good at "scrambling" information. Specifically, in the quantum setting, scrambling usually refers to the process of mapping most initial pure product states under a unitary transformation to states which are macroscopically entangled, in the sense of being close to completely mixed on most subsystems containing a fraction fn of all n particles for some constant f. While the term scrambling is used in the context of the black hole information paradox, scrambling is related to problems involving decoupling in general, and to the question of how large isolated many-body systems reach local thermal equilibrium under their own unitary dynamics. Here, we study the speed at which various notions of scrambling/decoupling occur in a simplified but natural model of random two-particle interactions: random quantum circuits. For a circuit representing the dynamics generated by a local Hamiltonian, the depth of the circuit corresponds to time. Thus, we consider the depth of these circuits and we are typically interested in what can be done in a depth that is sublinear or even logarithmic in the size of the system. We resolve an outstanding conjecture raised in the context of the black hole information paradox with respect to the depth at which a typical quantum circuit generates an entanglement assisted encoding against the erasure channel. In addition, we prove that typical quantum circuits of poly(log n) depth satisfy a stronger notion of scrambling and can be used to encode alpha n qubits into n qubits so that up to beta n errors can be corrected, for some constants alpha, beta > 0.

연구 동기 및 목표

• 무작위 양자 회로가 정보를 스캐러밍하는 데 필요한 최소 깊이를 규명하여 양자 중력 이론에서의 빠른 스캐러밍 추측을 해결하는 것.
• 깊이 $O(\log^3 n)$인 무작위 양자 회로가 강한 스캐러밍 개념을 만족함을 입증하여 하위계가 최대 혼합 상태에 가까워지게 하는 것.
• 이러한 회로를 사용하여 일정한 인코딩 비율과 선형 최소 거리를 갖는 안정자 부호를 구성할 수 있음을 보여주는 것.
• 기존의 탈결합 결과를 향상시켜 표준 근사 두 개의 설계보다 더 빠른 탈결합 수렴 속도를 보이는 것.
• 국소 양자 동역학의 자연스러운 모델에서 탈결합과 스캐러밍 속도를 분석하여 열역학적 평형화와 블랙홀 물리학에 관련된 것들에 기여하는 것.

제안 방법

• 2차원 격자에 국소 두 큐비트 게이트를 사용하는 무작위 양자 회로 모델을 구축하며, 깊이를 동역학적 진화의 시간에 대응시킨다.
• 랜덤 워크의 확률적 분석과 농도 부등식을 사용하여, 회로 진화 후에도 낮은 무게의 파울리 연산자가 여전히 중요할 확률을 제한한다.
• 근사 유니터리 설계와 탈결합 이론의 결과를 적용하여 깊이 $O(\log^3 n)$인 회로가 강한 탈결합을 달성함을 보여준다.
• 결합 추론과 지표 변수 합의 尾부 경계를 사용하여, 과정이 임계값 이하로 남는 횟수를 제어함으로써 빠른 혼합을 보장한다.
• 편향된 랜덤 워크에 관한 보조정리를 활용하여 경계에 도달할 확률를 제한하며, 하위계에서의 정보 감쇠를 모델링한다.
• 이러한 도구들을 종합하여 깊이 $O(\log^3 n)$인 일반적인 회로가 상수 $f$에 대해 크기가 $fn$인 모든 하위계를 스캐러밍함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 하위계 크기가 $fn$인 경우, 하위계가 최대 혼합 상태에 가까워지도록 하는 하위선형 깊이의 무작위 양자 회로가 강한 스캐러밍을 달성할 수 있는가?
• RQ2 무작위 양자 회로가 양자 통신 및 오류 수정을 위해 탈결합을 실현하기 위해 필요한 최소 깊이는 무엇인가?
• RQ3 자연스러운 국소 양자 회로 모델에서 $O(\log n)$ 깊이 내에 스캐러밍이 이루어지는 빠른 스캐러밍 추측은 참인가?
• RQ4 이러한 회로를 사용하여 일정한 비율과 선형 거리를 갖는 양자 오류 수정 부호를 구성할 수 있는가?
• RQ5 표준 근사 두 개의 설계보다 스캐러밍 속도가 더 빠른가?

주요 결과

• 깊이 $O(\log^3 n)$인 무작위 양자 회로는 임의의 상수 $f$에 대해 크기가 $fn$ 이하인 모든 하위계를 최대 혼합 상태에 가깝게 만든다.
• 동일한 회로는 표준 근사 두 개의 설계보다 훨씬 더 빠른 속도로 탈결합 유니터리를 제공하며, 후자는 $O(n^2)$ 크기가 필요로 한다.
• 이러한 회로를 사용하여 일정한 인코딩 비율 $\alpha > 0$과 최소 거리 $\beta n$ ($\beta > 0$)를 갖는 안정자 부호를 구성할 수 있으며, 이는 오직 $O(\log^3 n)$ 깊이의 인코딩 회로로도 가능하다.
• 논문은 깊이 $O(\log n)$인 회로가 블랙홀 정보 역학 역설과 관련된 더 약한 스캐러밍 개념을 달성함을 증명한다.
• 자연스러운 국소 회로 모델 하에서 정보가 $O(\log n)$ 깊이 내에 스캐러밍될 수 있음을 보여줌으로써 블랙홀 물리학의 추측을 해결한다.
• 분석을 통해 회로 진화 중 낮은 무게의 파울리 연산자의 감쇠가 지수적으로 빠르게 일어남을 입증하여 효과적인 정보 확산이 이루어짐을 확인한다.