[논문 리뷰] Scrambling without chaos in RCFT

Pawe l Caputa, Tokiro Numasawa외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 21.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 24인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 유리적 초등 대칭장론(RCFTs)에서 시간이 지남에 따라 발생하는 비순서상관함수(OTOCs)의 행동을 위한 일반적인 공식을 유도하며, 이들이 모듈러 S행렬 원소—특히 아니온 모노드로미 스칼라에 의해 결정되는 상수로 수렴함을 보여준다. $SU(N)_k$ WZW 모델의 중심적 차수 큰 극한에서, 순수성(purity)은 로그적으로 증가(양자 얽힘 스캐러빙을 시사)하지만 OTOC는 여전히 비영이면서 일정하게 유지되며, 이는 히알로그래픽 유사 영역에서도 혼돈과 스캐러빙이 서로 다른 개념임을 보여준다.

ABSTRACT

In this paper we investigate measures of chaos and entanglement in rational conformal field theories in 1+1 dimensions. First, we derive a universal formula for the late time value of the out-of-time-ordered correlators for this class of theories. Our universal result can be expressed as a particular combination of the modular S-matrix elements known as the anyon monodromy scalar. Next, in the explicit setup of a $SU(N)_k$ Wess-Zumino-Witten model, we compare the late time behavior of the out-of-time-ordered correlators and the purity. Interestingly, in the large-c limit, the purity grows logarithmically as in holographic theories; in contrast, the out-of-time-ordered correlators remain, in general, non-vanishing.

연구 동기 및 목표

• 유리적 초등 대칭장론(RCFTs)에서 비순서상관함수(OTOCs)의 만기 행동에 대한 일반적인 공식 유도.
• 통합 가능한 2차원 CFT에서 양자 혼돈(OTOC로 측정)과 얽힘 스캐러빙(순수성으로 측정) 간의 관계 탐구.
• 히알로그래픽 CFT 유사한 $SU(N)_k$ 웨스-줄리노-워젠(위저) 모델의 중심적 차수 큰 극한에서 OTOCs와 순수성의 행동 분석.
• RCFT에서 얽힘 스캐러빙이 양자 혼돈을 암시하는가를 히알로그래픽 dualit와 맥락에서 명확히 하기.
• 큰 중심적 차수 극한에서 OTOC가 여전히 비영임을 보여주어, 로그적 순수성 증가에도 불구하고 통합 가능성 유지됨을 입증하기.

제안 방법

• 모듈러 불변성과 초등 대칭장론 기법을 사용해 RCFT에서의 만기 OTOC를 유도하고, 결과를 $ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $ 로 표현하며, 여기서 $ S_{ij} $ 는 모듈러 S행렬이다.
• 유도된 공식을 중심적 차수가 큰 $SU(N)_k$ WZW 모델에 적용하며, 이는 알려진 모듈러 S행렬과 양자 차원을 갖는 비자명한 통합 가능한 2차원 CFT이다.
• 국소 연산자 자극 후 두 번째 레니 엔트로피(순수성)를 사각함수와 초등 블록 분해를 통해 계산한다.
• 't Hooft 극한 $ \lambda = N/k $ 고정을 통해 중심적 차수 큰 극한을 분석하고, 사각함수의 점근적 전개를 사용한다.
• 강한 결합 근사와 페르미온 연산자를 사용해 OTOC와 순수성을 계산하며, 주요 로그적 행동을 분리한다.
• 만기 OTOC(일정)와 순수성(로그적 증가)을 비교하여, 얽힘 스캐러빙과 양자 혼돈을 구분한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유리적 초등 대칭장론(RCFTs)에서 비순서상관함수(OTOC)의 일반적인 만기 값은 무엇인가?
• RQ2 RCFTs에서 OTOC는 모듈러 S행렬과 어떻게 관련되며, 아닐론 모노드로미 스칼라로 표현될 수 있는가?
• RQ3 중심적 차수가 큰 $SU(N)_k$ WZW 모델에서 순수성은 히알로그래픽 CFT와 유사하게 로그적으로 증가하는가?
• RQ4 큰 $c$ 극한에서 만기 OTOC가 영이 아닌가는 것이 양자 혼돈을 의미하는가, 아니면 통합 가능한 비혼돈 시스템에서도 지속될 수 있는가?
• RQ5 OTOC와 순수성이 RCFTs에서 스캐러빙과 혼돈의 다른 측면을 측정하는 데 얼마나 효과적인가?

주요 결과

• 모든 RCFT에서 만기 OTOC는 $ C^{eta}_{ij}(t) \to \frac{1}{d_i d_j} \frac{S^{*}_{ij}}{S_{00}} $ 로 유일하게 주어지며, 이는 모듈러 S행렬과 양자 차원에 의존한다.
• $SU(N)_k$ WZW 모델에서 OTOC는 만기 시 비영인 상수로 수렴하며, 중심적 차수가 크더라도 혼돈이 없음을 시사한다.
• 큰-$c$ 극한에서 두 번째 레니 엔트로피(순수성)는 시간에 따라 로그적으로 증가하며, $ \Delta S^{(2)}_A(t) \simeq 2h \log(2t/\epsilon) - \log(2) $ 로 표현되며, 히알로그래픽 스캐러빙을 모방한다.
• 순수성의 로그적 증가는 사각함수에서 $ 1/\sqrt{c} $ 보정항을 생략함으로써 발생하며, 이는 유한한 양자 차원을 복원하지 못하게 한다.
• 강한 결합 극한에서 OTOC는 만기 시 항상 1을 유지하며, 연산자 양자 수에 따라 달라지지 않아, 통합 가능성의 탐사 도구로서의 강건성을 확인한다.
• 순수성이 로그적으로 증가하는 동안 OTOC는 여전히 비영이 유지되며, 이는 RCFT에서 얽힘 스캐러빙이 양자 혼돈을 암시하지는 않음을 보여준다.