[논문 리뷰] Search problems in algebraic complexity, GCT, and hardness of generator for invariant rings

Ankit Garg, Christian Ikenmeyer외 4명|arXiv (Cornell University)|2019. 10. 02.

Commutative Algebra and Its Applications참고 문헌 22인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 초퍼래프언( hyperpfaffians)을 사용하여 SLₙ(ℂ)-표현의 불변환의 다항수준 압축 표현이 존재한다는 멀무레이의 추측을 반증한다. 이는 생성자들을 계산하는 것이 VNP-완전임을 증명함으로써, 표준 복잡도 가정 하에 다항수준의 압축 표현이 존재할 경우 VP가 VNP로 축소된다는 것을 의미한다.

ABSTRACT

We consider the problem of computing succinct encodings of lists of generators for invariant rings for group actions. Mulmuley conjectured that there are always polynomial sized such encodings for invariant rings of $\SL_n(\C)$-representations. We provide simple examples that disprove this conjecture (under standard complexity assumptions). We develop a general framework, denoted \emph{algebraic circuit search problems}, that captures many important problems in algebraic complexity and computational invariant theory. This framework encompasses various proof systems in proof complexity and some of the central problems in invariant theory as exposed by the Geometric Complexity Theory (GCT) program, including the aforementioned problem of computing succinct encodings for generators for invariant rings.

연구 동기 및 목표

• SLₙ(ℂ)-표현에 대한 불변환 생성자에 대한 다항수준 압축 표현의 존재성을 조사한다.
• 기하학적 복잡도 이론(GCT)에서 멀무레이의 추측을 도전한다. 이 추측은 이러한 압축 표현이 항상 존재한다고 주장한다.
• 알고리즘 회로 탐색 문제, 불변 이론, 그리고 VP 및 VNP와 같은 기본 복잡도 클래스 사이의 연결 고리를 설정한다.
• 일부 불변환의 생성자를 계산하는 것이 VNP-완전 문제를 해결하는 것과 동일한 난이도를 가짐을 보여준다.
• 알고리즘 회로 탐색 문제라는 일반적 프레임워크를 제공하여, 대수적 복잡도 이론과 계산 불변 이론의 문제들을 통합한다.

제안 방법

• 대수적 회로 탐색 문제의 형식적 프레임워크를 도입하여, 대수적 복잡도 이론과 불변 이론의 문제들을 통합한다.
• SL₂ₖₙ(ℂ) 작용 하에서 ⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ 위에서 핵심 불변량으로서 초퍼래프언 다항식 Pfₖ,ₙ을 사용한다.
• Pfₖ,ₙ가 짝수 k ≥ 2일 때 VNP-완전임을 증명하며, 텐서 곱에서 행렬식으로의 투영을 사용한다.
• 텐서 p에 대한 선형 매개변수화를 구성하여 ⟨v, p⊗ⁿ⟩이 상수배를 제외하고는 행렬식과 일치함을 보인다.
• 불변환 생성자에 대한 다항수준 압축 표현이 존재할 경우 Pfₖ,ₙ에 대한 다항식 크기의 회로를 얻을 수 있음을 증명한다.
• Pfₖ,ₙ의 VNP-완전성에 기반하여, 이러한 압축 표현이 존재할 경우 VP = VNP임을 보이며, 표준 복잡도 가정과 모순된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 SLₙ(ℂ)-불변환의 생성자에 대해 멀무레이의 추측처럼 다항수준 압축 표현이 항상 존재하는가?
• RQ2 초퍼래프언 다항식 Pfₖ,ₙ가 불변 생성자 역할을 하므로, 다항식 크기의 대수적 회로로 계산될 수 있는가?
• RQ3 불변환 생성자 계산 문제의 복잡도는 VNP-완전 문제와 동치인가?
• RQ4 행렬식은 SL₂ₖₙ(ℂ) 작용 하에서의 텐서 불변량으로부터 투영될 수 있는가? 이는 회로 복잡도에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 불변량에 대한 다항수준 압축 표현이 VP vs. VNP 문제에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 논문은 멀무레이의 추측에 대한 명시적 반례를 구성하여, 모든 SLₙ(ℂ)-불변환의 생성자에 다항수준 압축 표현이 존재하지 않음을 보였다.
• 짝수 k ≥ 2에 대해 초퍼래프언 Pfₖ,ₙ는 VNP-완전임을 입증하여 높은 계산 복잡도를 확인하였다.
• 선형 매개변수화된 텐서 p에서 Pfₖ,ₙ을 평가하면, 상수배를 제외한 d×d 행렬식과 일치하며, 이는 Pfₖ,ₙ에서 Perₙ으로의 투영을 증명한다.
• SL₂ₖₙ(ℂ) 작용 하에서 ⊗²ᵏℂ²ᵏⁿ 위의 동차 불변량 공간은 1차원이며, Pfₖ,ₙ에 의해 생성된다.
• 불변환 생성자에 대한 다항수준 압축 표현이 존재할 경우, Pfₖ,ₙ에 대한 다항식 크기의 회로를 얻을 수 있으며, 이는 VP가 VNP로 축소됨을 의미한다.
• 따라서 표준 복잡도 가정(VP ≠ VNP) 하에 이러한 불변환에 대한 다항수준 압축 표현은 존재하지 않는다.