[논문 리뷰] Searching for Maximum Out-Degree Vertices in Tournaments

Gregory Gutin, George B. Mertzios외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 01. 15.

Artificial Intelligence in Games참고 문헌 2인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 토너먼트에서 최대 출력 차수를 가진 정점 찾기에 최악의 경우 $\binom{n}{2} - O(n)$개의 이진 질의가 필요하다고 규명한다. 이는 왕을 찾는 데에 필요한 $\Theta(n^{3/2})$ 비용보다 훨씬 높은 수준이다. 저자들은 규칙적이고 거의 규칙적인 토너먼트에 대해 적대자 전략을 적용하여 날카로운 하한을 증명하며, 최대 출력 차수 정점 탐색이 왕을 찾는 것보다 본질적으로 더 비용이 많이 든다는 것을 보여준다.

ABSTRACT

A vertex $x$ in a tournament $T$ is called a king if for every vertex $y$ of $T$ there is a directed path from $x$ to $y$ of length at most 2. It is not hard to show that every vertex of maximum out-degree in a tournament is a king. However, tournaments may have kings which are not vertices of maximum out-degree. A binary inquiry asks for the orientation of the edge between a pair of vertices and receives the answer. The cost of finding a king in an unknown tournament is the number of binary inquiries required to detect a king. For the cost of finding a king in a tournament, in the worst case, Shen, Sheng and Wu (SIAM J. Comput., 2003) proved a lower and upper bounds of $Ω(n^{4/3})$ and $O(n^{3/2})$, respectively. In contrast to their result, we prove that the cost of finding a vertex of maximum out-degree is ${n \choose 2} -O(n)$ in the worst case.

연구 동기 및 목표

• 이진 질의를 사용하여 토너먼트에서 최대 출력 차수를 가진 정점을 찾는 데 필요한 최악의 비용을 규명하는 것.
• 최대 출력 차수 정점 찾기의 복잡도를 이已지된 $\Theta(n^{3/2})$ 비용을 가진 왕 찾기의 복잡도와 비교하는 것.
• 최대 출력 차수 정점을 정확히 식별하기 위해 필요한 간선 방향 질의 수의 날카로운 하한을 설정하는 것.
• 최대 출력 차수 정점으로만 검색을 제한하는 것이 효율적인지 여부를 평가하는 것. 이는 두 작업의 비용 체제가 상당히 다름을 고려할 때이다.

제안 방법

• 질의 과정 전반에 걸쳐 고정된 규칙적 또는 거의 규칙적인 토너먼트 구조를 유지하는 적대자 전략이 사용된다.
• 적대자는 고정된 토너먼트의 실제 화살표 방향에 기반하여 이진 질의에 답하지만, 알고리즘이 최대 출력 차수 정점을 확정할 수 있는 능력을 지연시킨다.
• 불충분한 질의가 이루어지면, 적대자는 나머지 알 수 없는 화살표를 조작하여 진짜 최대 출력 차수 정점과 다른 정점을 구별할 수 없도록 보장한다.
• 각 비대상 정점이 최대 출력 차수 정점일 수 없음을 입증하기 위해 필요한 최소 수의 들어오는 간선 수를 분석함으로써 하한을 유도한다.
• 증명은 $n$의 홀짝성에 따라 사례 분석을 사용하며, 홀수 $n$의 경우(규칙적 토너먼트)와 짝수 $n$의 경우(거의 규칙적 토너먼트)를 구분한다.
• 모든 다른 정점로부터의 최소로 요구되는 들어오는 차수의 합을 사용하여 질의 수의 하한을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 토너먼트에서 최대 출력 차수 정점을 식별하기 위해 필요한 최악의 경우 이진 질의 수는 얼마인가?
• RQ2 최대 출력 차수 정점 찾기의 질의 복잡도는 토너먼트에서 왕을 찾는 것과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ3 최대 출력 차수 정점을 식별하기 위해 필요한 질의 수에 대해 날카로운 하한을 설정할 수 있는가?
• RQ4 질의 비용 격차를 고려할 때, 왕 찾기 알고리즘을 최대 출력 차수 정점으로만 제한하는 것이 가능한가?

주요 결과

• $n$개 정점이 있는 토너먼트에서 최대 출력 차수 정점을 찾는 데 필요한 최악의 비용은 최소 $\binom{n}{2} - O(n)$개의 이진 질의이다.
• 홀수 $n$의 경우, 최악의 경우 하한은 $\frac{(n-1)^2}{2}$개의 질의이다.
• 짝수 $n$의 경우, 최악의 경우 하한은 $\frac{(n-1)(n-2)}{2}$개의 질의이다.
• 이 하한은 총 간선 수에서 선형 항을 뺀 것과 일치하므로, 거의 전체 토너먼트 지식이 필요하다는 점에서 날카로운 하한임을 나타낸다.
• 결과적으로 최대 출력 차수 정점 찾기는 왕 찾기보다 훨씬 더 비용이 많이 든다는 것이 드러났다. 왕은 $O(n^{3/2})$개의 질의로 찾을 수 있다.
• 적대자 전략을 통해 최악의 경우 $\binom{n}{2} - O(n)$개의 질의 이하로는 어떤 알고리즘도 최대 출력 차수 정점을 정확히 식별할 수 없다는 것이 증명된다.