[논문 리뷰] Secant varieties to osculating varieties of Veronese embeddings of $\mathbb{P}^n$

Alessandra Bernardi, Maria Virginia Catalisano외 2명|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 15.

Tensor decomposition and applications참고 문헌 11인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 $ℓ{}^n$의 Veronese 매핑에 대한 접선 및 옥수선 다양체의 순서 다양체에 대해 Alexander-Hirschowitz 정리와 유사한 추측을 수립하며, 결함성은 지방점 스킴의 Hilbert 함수에 의해 결정됨을 증명한다. 만약 $d=3$일 때 추측이 성립한다면, 모든 $d \geq 3$에 대해 성립함을 보이며, $n \leq 9$에 대해 검증한다. 또한 $ℓ{}^n$에서 0차원 스킴의 postulation과 관련된 $k$-옥수선 다양체의 순서 다양체를 연결하는 일반적 추측을 증명한다. 주요 기여는 낮은 $n$에 대해 이러한 설정에서 결함성 있는 순서 다양체를 완전히 분류하고, $d=3$의 경우로의 환원을 이룬 것이다.

ABSTRACT

A well known theorem by Alexander-Hirschowitz states that all the higher secant varieties of $V_{n,d}$ (the $d$-uple embedding of $\mathbb{P}^n$) have the expected dimension, with few known exceptions. We study here the same problem for $T_{n,d}$, the tangential variety to $V_{n,d}$, and prove a conjecture, which is the analogous of Alexander-Hirschowitz theorem, for $n\leq 9$. Moreover. we prove that it holds for any $n,d$ if it holds for $d=3$. Then we generalize to the case of $O_{k,n,d}$, the $k$-osculating variety to $V_{n,d}$, proving, for $n=2$, a conjecture that relates the defectivity of $σ_s(O_{k,n,d})$ to the Hilbert function of certain sets of fat points in $\mathbb{P}^n$.

연구 동기 및 목표

• $ℓ{}^n$의 Veronese 매핑에 대한 접선 및 옥수선 다양체의 순서 다양체에 대해 Alexander-Hirschowitz 정리와 유사한 추측을 수립한다.
• $\sigma_s(T_{n,d})$에 대한 추측이 $d=3$일 때 성립한다면, 모든 $d \geq 3$에 대해 성립함을 증명함으로써 문제를 $d=3$의 경우로 환원한다.
• $k$-옥수선 다양체 $O_{k,n,d}$로 분석을 일반화하여, 그들의 순서 다양체가 지방점 스킴의 Hilbert 함수와 어떻게 관련되는지 다룬다.
• $d=3$의 경우를 포함하여 $n \leq 9$에 대해 COCOA와 같은 계산 도구를 사용하여 추측을 검증한다.
• $\sigma_s(O_{k,n,d})$의 결함성과 일반적인 점에서 정의된 이상 $I_P^{k+1}$와 $I_P^{k+2}$ 사이의 이상을 가진 0차원 스킴의 postulation을 연결하는 추측을 제안하고 증거를 제시한다.

제안 방법

• $d \geq 4$에 대한 순서 다양체의 결함성 문제를 $d=3$의 경우로 환원하기 위해 Horace 미분 렘마를 사용한다.
• 기하학적 결함성 문제를 0차원 스킴의 postulation 조건으로 변환하기 위해 역계산계와 Hilbert 함수 기법을 적용한다.
• $\sigma_s(O_{k,n,d})$가 결함성이 있을 조건은, 각 점에서 $I_P^{k+1}$와 $I_P^{k+2}$ 사이에 있는 $Z_i$를 포함하는 스킴 $Y = Z_1 \cup \cdots \cup Z_s$가 차수 $d$의 형식에 대해 독립적인 조건을 부과하지 않을 때임을 특성화한다.
• $n \leq 9$에 대해 $d=3$의 경우를 COCOA를 사용하여 계산적으로 검증함으로써, 이 경우에 추측이 성립함을 확인한다.
• 이항계수와 floor 함수를 포함한 부등식을 증명하기 위해 渐近적 및 조합적 추정을 적용하여, 큰 $n$과 $d$에 대해서도 추측이 성립함을 보장한다.
• 순서 다양체의 결함성과 특정 스킴이 차수 $d$의 형식에 대해 독립적인 조건을 부과하지 못할 때의 등가성을 기반으로 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 $\sigma_s(T_{n,d})$는 Alexander-Hirschowitz 정리에서 알려진 예외를 제외하고 모든 $n$과 $d$에 대해 기대하는 차원을 가지는가?
• RQ2 만약 $\sigma_s(T_{n,d})$에 대한 추측이 $d=3$일 때 성립한다면, 모든 $d \geq 3$에 대해 성립하는가?
• RQ3 $k$-옥수선 다양체 $O_{k,n,d}$에 대해 $\sigma_s(O_{k,n,d})$가 언제 결함성이 있는가? 그리고 이는 지방점 스킴의 Hilbert 함수와 어떻게 관련되는가?
• RQ4 $\sigma_s(O_{k,n,d})$의 결함성은 $I_P^{k+1}$와 $I_P^{k+2}$ 사이의 이상을 가진 일반적인 점에서 정의된 스킴 $Y$의 postulation으로 특성화될 수 있는가?
• RQ5 $\sigma_s(O_{k,n,d})$가 결함성이 있을 조건은 $Y$가 차수 $d$의 형식에 대해 독립적인 조건을 부과하지 못할 때이며, 위와 같은 $Y$에 대해 이 추측이 모든 $n$, $k$, $d$, $s$에 대해 참인가?

주요 결과

• $n \leq 9$에 대해 $\sigma_s(T_{n,d})$에 대한 추측은 COCOA를 사용한 $d=3$의 경우의 계산적 검증을 통해 확인되었으며 성립함을 입증한다.
• $d=3$일 때 추측이 성립한다면, 모든 $d \geq 3$에 대해 성립함을 보이며, 일반 문제를 해결하기 위한 환원 원칙을 수립한다.
• $n=2$의 경우, $\sigma_s(O_{k,n,d})$의 결함성과 $ℓ{}^n$에서 지방점 집합의 Hilbert 함수 사이의 관계를 연결하는 추측을 증명하며, 완전한 특성화를 제공한다.
• $d \geq 4$ 및 $n \geq 7$, 또는 $d=4$ 및 $n \geq 7$일 때 $s_{n,d} = \left\lfloor \frac{1}{2n+1} \binom{n+d}{n} \right\rfloor$가 필요한 부등식을 만족함을 증명하여, 이 경우에 추측이 성립함을 보장한다.
• $d \geq 10$일 때, $s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} - 2 \geq s_{4,d-3}$ 및 $s_{4,d} - s_{3,d} - s_{3,d-1} + 1 \leq s_{4,d-2}$라는 핵심 부등식을 검증하여 귀납적 증명에 필요한 조건을 확보한다.
• $d \geq 5$, $n \geq 4$ 또는 $d=4$, $n \geq 7$일 때 $2s_{n-1,d} \geq 4n - 1$임을 증명하여, 관련 매개변수 범위에서 추측의 타당성을 뒷받침한다.