[논문 리뷰] Second Hankel Determinant for certain class of bi-univalent functions defined by Chebyshev polynomials

Halit Orhan, N. Magesh외 1명|arXiv (Cornell University)|2017. 05. 09.

Analytic and geometric function theory참고 문헌 29인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 열린 단위 원판 내에서 체비셰프 다항식과 관련된 새로운 이중단조 함수의 하위류 $ \mathcal{N}_{\sigma}^\mu(\lambda,t) $에 대해 제2 헨켈 행렬식 $ |a_2a_4 - a_3^2| $의 날카운 상계를 확립한다. 하위순서 원리와 계수 제약 조건에서 유도된 실수 함수의 최적화를 적용하여, 매개수 $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ 에 따라 변화하는 명시적 상계를 도출하였으며, 기존 문헌의 결과를 향상시켰다.

ABSTRACT

Making use of Chebyshev polynomials, we obtain upper bound estimate for the second Hankel determinant of a subclass $\mathcal{N}_{σ}^μ\left( λ,t ight) $ of bi-univalent function class $σ.$

연구 동기 및 목표

• 체비셰프 다항식을 사용하여 정의된 새로운 이중단조 함수의 하위류에 대해 제2 헨켈 행렬식 $ |a_2a_4 - a_3^2| $를 조사한다.
• 체비셰프 다항식 전개와 관련된 매개수 $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ 를 통합하여 이중단조 함수에 대한 이전의 계수 상계를 확장한다.
• 다양한 매개수 영역에서 제2 헨켈 행렬식에 대한 명시적이고 날카운 상한 추정치를 제공한다.
• 특히 Mustafa [28]의 결과를 개선하기 위해 계수 기능의 임계점 분석을 통해 상계를 정교화한다.

제안 방법

• 저자들은 체비셰프 다항식의 제1종을 사용한 하위순서 조건을 이용하여 새로운 하위류 $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ 를 정의한다.
• 함수와 그 역함수에 하위순서 원리를 적용하여 $ f(z) $ 와 $ f^{-1}(w) $ 의 급수 전개를 활용해 계수 부등식을 유도한다.
• 계수 $ a_2, a_3, a_4 $ 와 매개수 $ \lambda, \mu, t $ 를 바탕으로 실수 함수 $ K(c,t) $ 를 구성하고, $ c \in (0,2) $ 에서의 최대화를 통해 헨켈 행렬식의 상한을 구한다.
• 임계점 분석을 통해 $ K'(c,t) = 0 $ 을 풀어, 보조량 $ M_1, M_2, M_3, M_4 $ 의 부호에 따라 국소 최대값이 $ c = 0^+ $, $ c = 2^- $, 또는 $ c = c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $ 에서 발생함을 확인한다.
• 부호에 따라 $ M_3 $ 과 $ M_4 $ 가 다른 4가지 경우에 따라 $ K(c,t) $ 의 최대값을 계산하여 조각별 상한을 도출한다.
• 특수한 경우를 통해 결과를 검증하였으며, 이는 $ \lambda = \mu $, $ \mu = 1 $, $ \lambda = \mu = 1 $ 인 경우를 포함하여 기존에 알려진 상한을 회복하고 일관성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체비셰프 다항식을 통해 정의된 이중단조 함수의 하위류 $ \mathcal{N}_{\sigma}^{\mu}(\lambda,t) $ 에서 제2 헨켈 행렬식 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ 의 날카운 상한은 무엇인가?
• RQ2 매개수 $ \lambda $, $ \mu $, $ t $ 는 이 하위류에서 제2 헨켈 행렬식의 크기에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 계수 기능의 임계점 분석을 통해 Mustafa [28]의 결과를 개선할 수 있는가?
• RQ4 특히 임계점 $ c_0 $ 가 $ (0,2) $ 내부에 있을 경우, 다양한 매개수 영역에서 상한의 명시적 표현은 무엇인가?

주요 결과

• 만약 $ M_1 \geq 0 $ 이고 $ M_2 \geq 0 $ 이면, 제2 헨켈 행렬식 $ |a_2a_4 - a_3^2| $ 는 $ \frac{4t^2}{(2\lambda + \mu)^2} $ 이하로 상한이 주어지며, 이는 $ c = 0^+ $ 에서 최대값을 가짐을 의미한다.
• 만약 $ M_3 \geq 0 $ 이고 $ M_4 \geq 0 $ 이면, 상한은 $ K(2^{-}, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} + \frac{M_3 + 3M_4}{6(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $ 로 주어지며, 이는 $ c = 2^- $ 에서 도달된다.
• 만약 $ M_3 < 0 $ 이고 $ M_4 > 0 $ 이면, 최대값은 임계점 $ c_0 = \sqrt{-6M_4/M_3} $ 에서 발생하며, 이 경우 $ K(c_0, t) = \frac{4t^2}{(2\lambda+1)^2} - \frac{3M_4^2}{8M_3(\lambda+1)^4(2\lambda+1)^2(3\lambda+1)} $ 를 얻는다.
• 특히 $ \lambda = \mu $ 인 경우, $ \frac{1}{2} < t \leq t_{01} \approx 0.603615 $ 에서는 상한이 $ t^2(1 - t^2) $ 이며, $ t_{01} < t < 1 $ 에서는 $ \frac{t(260t^4 + 84t^3 - 139t^2 - 18t + 9)}{8(18t^3 + 42t^2 - 17t - 9)} $ 이다.
• 하위류 $ \mathcal{S}_{\sigma}^*(t) $ 에서는 $ \frac{1}{2} < t \leq \frac{7 + \sqrt{401}}{44} \approx 0.6036 $ 일 때 상한이 $ \frac{8t^2}{3} $ 이며, 더 큰 $ t $ 에서는 $ t^2 + \frac{t(2 + t - 11t^2)^2}{3(22t^2 - 7t - 4)} $ 이다.
• 유도된 상한은 Mustafa [28]의 결과를 개선하였으며, 특히 임계점 $ c_0 $ 가 끝점 값보다 엄격히 큰 최대값을 제공하는 매개수 영역에서 뚜렷한 향상이 이루어졌다.