[논문 리뷰] Second Law of Thermodynamics, Macroscopic Observables within Boltzmann's Principle but without Thermodynamic Limit

D. H. E. Gross|arXiv (Cornell University)|2001. 01. 18.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 11인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 열역학 제2법칙을 열역학적 한계 없이 볼츠만의 원리로 재해석하며, 거칠기 때문에 분할된 위상공간 부분다양체를 그 닫힘과 구분할 수 없는 거대측정에서 기인하는 비가역성이 발생함을 보여준다. 기존의 위상공간 부피 대신 상자세기 측도를 사용함으로써, 이 접근법은 거대측정에서 비롯된 군집 평균과 군집화의 자연스러운 결과로서 제2법칙을 도출한다.

ABSTRACT

Boltzmann's principle S=k ln W allows to extend equilibrium thermo-statistics to ``Small'' systems without invoking the thermodynamic limit. The clue is to base statistical probability on ensemble averaging and not on time averaging. It is argued that due to the incomplete information obtained by macroscopic measurements thermodynamics handles ensembles or finite-sized sub-manifolds in phase space and not single time-dependent trajectories. Therefore, ensemble averages are the natural objects of statistical probabilities. This is the physical origin of coarse-graining which is not anymore a mathematical ad hoc assumption. From this concept all equilibrium thermodynamics can be deduced quite naturally including the most sophisticated phenomena of phase transitions for ``Small'' systems. Boltzmann's principle is generalized to non-equilibrium Hamiltonian systems with possibly fractal distributions ${\cal{M}}$ in 6N-dim. phase space by replacing the conventional Riemann integral for the volume in phase space by its corresponding box-counting volume. This is equal to the volume of the closure $\bar{\cal{M}}$. With this extension the Second Law is derived without invoking the thermodynamic limit. The irreversibility in this approach is due to the replacement of the phase-space volume by the volume of its closure $\bar{\cal{M}}$. The physical reason for this replacement is that macroscopic measurements cannot distinguish ${\cal{M}}$ from $\bar{\cal{M}}$. Whereas the former is not changing in time due to Liouville's theorem, the volume of the closure can be larger. In contrast to conventional coarse graining the box-counting volume is defined in the limit of infinite resolution. I.e. there is no artificial loss of information.

연구 동기 및 목표

• 열역학적 한계에 의존하지 않는 비평형 통계역학의 기초를 마련하기 위해.
• 비가역성 역설을 해결하기 위해 비가역성을 거대측정의 물리적 한계에 뿌리내리게 하기 위해.
• 군집화가 수단적인 가정이 아니라 거대측정 관측자로부터의 불완전한 정보의 자연스러운 결과임을 보여주기 위해.
• 상자세기 부피를 사용하여 비평형 또는 분수적 분포를 가진 위상공간에 볼츠만의 원리를 일반화하기 위해.
• 에르고딕성 또는 시간 평균 가정 없이, 군집 평균과 위상공간 부분다양체의 닫힘을 통해 제2법칙을 유도하기 위해.

제안 방법

• 고정된 에너지에서 미세상태 수 $ W $ 를 사용하여 엔트로피의 기본 정의로 볼츠만의 원리 $ S = k \ln W $ 를 사용한다.
• 거대측정 관측자 $ \hat{M} $ 는 위상공간 내에서 $ (6N-1) $차원 부분다양체 $ \mathcal{M} $ 를 정의하는 제약 조건으로 정의된다.
• 위상공간 부피에 대한 리만 적분을 상자세기 측도 $ \mathrm{vol}_{\text{box}} $ 로 대체하며, 이는 닫힘 $ \overline{\mathcal{M}} $ 의 부피와 동치이다.
• 분수적 분포 $ \mathcal{M} $ 를 가진 비평형 시스템을 모델링하며, 무한해상도 근사에서 상자세기로 위상공간 부피를 정의한다.
• 거대측정의 비구분 가능성으로 인해 진정한 분수적 부피 $ \mathrm{vol}_{\text{box}}(\mathcal{M}) $ 가 더 큰 부피 $ \mathrm{vol}_{\text{box}}(\overline{\mathcal{M}}) $ 로 대체됨으로써 비가역성이 도출된다.
• 거대측정이 본질적으로 단일 궤적을 추적하는 대신 부분다양체를 평균화하므로, 군집 평균이 물리적으로 자연스럽다는 것을 정당화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 열역학적 한계를 가정하지 않고 제2법칙을 어떻게 도출할 수 있는가?
• RQ2 통계역학에서 군집화의 물리적 기원은 무엇이며, 왜 이는 임의적인 수학적 절차가 아니며?
• RQ3 리우빌 정리에 의해 체적 보존이 보장되는 결정론적 하밀토니안 시스템에서 비가역성이 왜 발생하는가?
• RQ4 비평형 시스템에 대해 분수적 위상공간 분포를 가진 볼츠만의 원리를 어떻게 일반화할 수 있는가?
• RQ5 거대측정이 유한계에서 통계적 군집과 확률을 정의하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 위상공간 부분다양체의 닫힘의 상자세기 측도를 사용함으로써 열역학적 한계 없이 제2법칙을 도출할 수 있다.
• 비가역성은 동역학이 아니라 거대측정이 분수집합 $ \mathcal{M} $ 와 그 닫힘 $ \overline{\mathcal{M}} $ 를 구분할 수 없는 물리적 능력 부족에서 기인하며, 이로 인해 측정 가능한 부피가 증가한다.
• 군집화는 수단적인 가정이 아니라 거대측정 관측자로부터의 불완전한 정보의 자연스러운 결과이다.
• 거대측정의 확률 $ P(M) $ 는 제약 조건이 부여된 부분다양체의 상자세기 부피 $ W(M) $ 와 전체 미세상태 수 $ W $ 의 비율로 주어진다.
• 평형 열역학, 특히 상전이까지도 이 틀에서 자연스럽게 도출될 수 있으며, 소규모 시스템에도 적용 가능하다.
• 에르고딕성 가정과 시간 평균 가정 없이도, 통계역학을 거대측정으로 정의된 부분다양체 위에서의 군집 평균에 뿌리내리게 하여, 에르고딕성 역설과 비가역성 역설을 피할 수 있다.