[논문 리뷰] Second main theorem and unicity of meromorphic mappings for hypersurfaces in projective varieties

Si Duc Quang, Do Phuong An|arXiv (Cornell University)|2014. 12. 03.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 15인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소수 m차원에서 프로젝티브 부분다양체 V ⊂ ℙ^n(ℂ)로의 매립형 사상에 대해, 획득 함수가 잘린 counting 함수를 가진 N-하위일반 위치에 있는 초곡면들과의 교차를 고려하여 두 번째 주요 정리를 수립한다. 핵심 기여는 Hilbert 함수 H_V(d)를 포함하는 결함 관계를 제시하여 고전 결과를 열악한 사상으로 확장하고, 복소수를 세지 않는 조건에서 초곡면을 공유하는 사상에 대한 유일성 정리의 일반화이다.

ABSTRACT

Let $V$ be a projective subvariety of $\mathbb P^n(\mathbb C)$. A family of hypersurfaces $\{Q_i\}_{i=1}^q$ in $\mathbb P^n(\mathbb C)$ is said to be in $N$-subgeneral position with respect to $V$ if for any $1\le i_1

연구 동기 및 목표

• Nevanlinna 이론의 두 번째 주요 정리를 ℙ^n(ℂ)가 아니라 프로젝티브 부분다양체 V ⊂ ℙ^n(ℂ)로의 매립형 사상으로 일반화하기.
• 매립형 사상이 대수적으로 비비산하지 않는 경우뿐만 아니라 선형적으로 열악한 경우에도 초곡면을 공유하는 사상에 대한 유일성 정리를 확장하기.
• 부분다양체 V에 대해 N-하위일반 위치의 개념을 도입하고, 고전적인 일반 위치 개념을 일반화하기.
• Hilbert 함수 H_V(d)를 사용하여 잘린 counting 함수를 포함하는 결함 관계를 수립하여 이전 결과보다 훨씬 낮은 잘림 수준을 달성하기.
• 매립형 사상이 I_d(V)에서 열악할 수 있는 경우에도, 복소수를 세지 않는 조건에서 초곡면을 공유하는 사상에 대한 유일성 정리를 증명하기.

제안 방법

• 차원 k인 프로젝티브 부분다양체 V에 대해 초곡면들이 N-하위일반 위치에 있음을 정의하며, 이는 N+1개 이하의 초곡면이 V와 비자명하게 교차하지 않음을 요구한다.
• H_V(d) = dim I_d(V)인 Hilbert 함수를 도입하여, V의 아이디얼에 모듈로된 동차 다항식 공간의 차원을 세는 데 사용한다.
• f가 초곡면 Q_i에 얼마나 가까운지를 측정하기 위해 잘린 counting 함수 N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r)를 사용하며, 잘림 수준은 H_V(d)−1이다.
• 비열악한 I_d(V) 사상에 대해 다음의 두 번째 주요 정리를 수립한다: (q − (2N−k+1)H_V(d)/(k+1))T_f(r) ≤ ∑(1/d_i)N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r) + o(T_f(r)).
• 두 번째 주요 정리를 적용하여 모순에 기반한 유일성 정리를 증명한다. 서로 다른 사상 f와 g가 초곡면을 공유한다고 가정하고, 특성 함수 추정치를 통해 모순을 이끌어낸다.
• Jensen의 공식과 특성 함수 항등식을 사용하여 결과 함수 P_i = Q_i(f)Q_σ(i)(g) − Q_i(g)Q_σ(i)(f)의 counting 함수를 유계로 제한하며, 공유하는 초곡면의 수가 임계값을 초과할 경우 모순이 발생한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Nevanlinna 이론의 두 번째 주요 정리는 ℙ^n(ℂ)가 아니라 프로젝티브 부분다양체 V ⊂ ℙ^n(ℂ)로의 매립형 사상으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 초곡면들이 부분다양체 V에 대해 N-하위일반 위치에 있을 경우, 두 번째 주요 정리에서 counting 함수의 최적 잘림 수준은 무엇인가?
• RQ3 매립형 사상이 선형적으로 열악할 수 있는 경우에도, 복소수를 세지 않는 조건에서 초곡면을 공유하는 사상에 대한 유일성 정리를 수립할 수 있는가?
• RQ4 N-하위일반 위치에 있는 초곡면의 최소 수는 얼마여야 두 매립형 사상이 V로 들어가면서 동일해지는가?
• RQ5 Hilbert 함수 H_V(d)는 하위일반 위치의 맥락에서 결함 관계와 유일성 임계값에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 매립형 사상 f: ℂ^m → V에 대해, V가 차원 k인 프로젝티브 부분다양체이고, 초곡면들이 V에 대해 N-하위일반 위치에 있을 경우 두 번째 주요 정리를 수립하였다.
• counting 함수의 잘림 수준은 이전의 (M+1) 또는 (n+d choose n)−1와 비교해 매우 낮은 H_V(d)−1이다.
• 결함 관계는 (q − (2N−k+1)H_V(d)/(k+1))T_f(r) ≤ ∑(1/d_i)N^{[H_V(d)−1]}_{Q_i(f)}(r) + o(T_f(r))로 주어지며, 여기서 H_V(d)는 V의 Hilbert 함수이다.
• 유일성 정리는 두 매립형 사상 f와 g가 V로 들어가며 q개의 초곡면을 N-하위일반 위치에서 공유하고 복소수를 세지 않을 경우, q > 2(2N−k+1)H_V(d)/(k+1)이면 f ≡ g임을 보여준다.
• 이 결과는 고전적인 Cartan-Nochka 정리의 일반화이다: V가 차원 k인 선형 공간이고 각 Q_i가 초평면일 경우 H_V(d) = k+1이며, 이 경우 결과는 고전적인 두 번째 주요 정리로 줄어든다.
• 유일성 임계값 q ≤ 2(2N−k+1)H_V(d)/(k+1)는 날카로운 것으로 밝혀졌으며, 특성 함수 추정치와 Jensen의 공식을 사용한 모순 증명을 통해 입증되었다.