[논문 리뷰] Second moments and the bias conjecture for the family of cubic pencils

Matija Kazalicki, Bartosz Naskręcki|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 21.

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한 줄 요약

이 논문은 $ \deg P, \deg Q \leq 3 $인 1파rameter 가중치의 세차 포화 $ \mathcal{F}_k: y^2 = P(x)k + Q(x) $에 대해 제2모멘트 합 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $의 명시적 공식을 제공한다. 이를 통해 종속된 종수 2 곡선 위의 점 수로 표현하며, 종수 2 곡선에 대한 사토-타이트 추측을 가정할 경우, 평균적으로 비제로의 하위항이 음수임을 증명한다. 이는 편향 추측을 증명하는 데 기여한다.

ABSTRACT

For a 1-parametric family $E_k$ of elliptic curves over $\mathbb{Q}$ and a prime $p$, consider the second moment sum $M_{2,p}(E_k)=\sum_{k \in \mathbb{F}_p} a_{k,p}^2$, where $a_{k,p}=p+1-\#E_k(\mathbb{F}_p)$. Inspired by Rosen and Silverman's proof of Nagao conjecture which relates the first moment of a rational elliptic surface to the rank of Mordell-Weil group of the corresponding elliptic curve, S. J. Miller initiated the study of the asymptotic expansion of $M_{2,p}(E_k)=p^2+O(p^{3/2})$ (which by the work of Deligne and Michel has cohomological interpretation). He conjectured that, similar to the first moment case, the largest lower-order term that does not average to 0 has a negative bias. In this paper, we provide an explicit formula for the second moment $M_{2,p}(\mathcal{E}_{U})$ of $$ \mathcal{E}_{U}:y^2=P(x)U+Q(x), $$ where $ extrm{deg } P(x), extrm{deg } Q(x)\leq 3$. For a generic choice of polynomials $P(x)$ and $Q(x)$ this formula is expressed in terms of the point count of a certain genus two curve. As an application, we prove that the Bias conjecture holds for the pencil of the cubics $\mathcal{E}_U$.

연구 동기 및 목표

• 체 $ \mathbb{F}_p $ 위의 1파rameter 가중치 세차 포화에 대해 제2모멘트 합 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $의 명시적 공식 유도.
• 모티브적 분해를 통해 제2모멘트를 $ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $의 프로베니우스 추적과 연결.
• 제2모멘트의 점근적 행동을 조사하고 주요 평균화되지 않는 하위항을 식별.
• 종수 2 곡선에 대한 사토-타이트 추측을 가정할 경우 세차 포화에 대한 편향 추측을 증명.
• 관련된 커머 3차원의 기하학적 성질에 따라 경우를 분류하고, 가중치의 $ j $-불변량이 일정한 경우를 판단.

제안 방법

• ℓ-아디크 코hom올로지에 기반한 모티브적 분해를 사용하여 제2모멘트를 $ \mathrm{Sym}^2 \mathcal{F}_\ell $의 프로베니우스 추적과 연결.
• 세차 포화의 판별식에 의해 정의된 커머 3차원 위의 점 수로 제2모멘트를 환원.
• 커머 3차원의 기하적 구성요소(종수 2 곡선 및 쌍곡선 포함)로의 명시적 분해 계산.
• 종수 2 곡선에 대한 사토-타이트 추측을 적용하여 프로베니우스 추적의 분포를 분석하고 편향 행동을 도출.
• 그로브너 기저와 MAGMA를 포함한 대수기하 도구를 사용하여 $ P(x) $ 및 $ Q(x) $의 차수와 근의 구조에 따라 경우를 분류.
• $ j $-불변량을 계산하고, 그것이 일정한 경우를 분류하며, 비례 관계에 있지 않은 한 $ j = 0 $ 또는 $ j = 12^3 $만 가능함을 보임.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 체 $ \mathbb{F}_p $ 위의 1파라미터 가중치 세차 포화에 대해 제2모멘트 합 $ M_{2,p}(\mathcal{F}_k) $의 명시적 공식은 무엇인가?
• RQ2 제2모멘트는 종수 2 곡선이나 쌍곡선 위의 점 수와 같은 기하학적 불변량으로 어떻게 분해되는가?
• RQ3 제2모멘트가 점근 전개에서 비제로의 편향을 보일 조건은 무엇인가?
• RQ4 종수 2 곡선에 대한 사토-타이트 추측이 이 가중치 가족에 대한 편향 추측을 증명하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 세차 포화 $ \mathcal{F}_k $의 $ j $-불변량이 언제 일정한가, 그리고 제2모멘트에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 일반적인 세차 포화에 대해 제2모멘트 $ \widetilde{M}_{2,p}(\mathcal{F}) $ 는 $ 2p^2 + p(-\left(\frac{-3}{p}\right) - \left(\frac{-35}{p}\right) - 1 - \mu_1(p) - \mu_2(p) + \mu_3(p)) $ 로 주어지며, 여기서 $ \mu_i(p) $ 는 $ \mathbb{F}_p $ 위에서 특정 다항식의 근을 세는 것이다.
• 상수 $ j $-불변량 0 이며 비최소성 섬유가 없는 가중치의 경우 제2모멘트는 $ \widetilde{M}_{2,p} = p^2(2 + \left(\frac{-3}{p}\right)) - 1 - \left(\frac{-3}{p}\right) $ 로 주어지며, 이는 $ -1 $ 의 음수 편향을 확인한다.
• 종수 2 곡선에 대한 사토-타이트 추측을 가정할 경우, 이 가중치 가족에 대해 편향 추측이 성립한다. 주요 평균화되지 않는 하위항의 평균은 음수이기 때문이다.
• 세차 포화 $ y^2 = P(x)k + Q(x) $의 $ j $-불변량이 일정한 경우는 $ j = 0 $, $ j = 12^3 $, 또는 $ P $와 $ Q $가 비례할 때뿐이다.
• 제2모멘트의 모티브적 분해는 커머 3차원의 기하학적 성질에 의해 결정되며, 이는 판별식과 근의 구조에 따라 종수 0, 1, 또는 2인 구성요소로 분해된다.
• 비최소 모델의 경우, 특이 섬유로 인해 주항이 $ 2p^2 $ 로 달라지며, 이는 마이클리 경계를 벗어나게 된다.