[논문 리뷰] Second order asymptotics for Brownian motion in a heavy tailed Poissonian potential

Ryoki Fukushima|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 19.

Spectral Theory in Mathematical Physics참고 문헌 12인용 수 16

한 줄 요약

이 논문은 $d < \beta < d+2$ 인 거대 꼬리 꼬리 분포를 가진 포아송 잡음에서 브라운 운동의 페인만-카츠 함수에 대해 두 번째 차수 점점 가까운 점근적 성질을 수립한다. 변분 방법과 대규모 편차 기법을 사용하여, 생존 확률과 관련된 임의의 슈뢰딩거 연산자의 통합 밀도 함수에 이르기까지 두 번째 차수까지 정확한 모멘트 및 거의 확실한 점근적 성질을 도출한다.

ABSTRACT

We consider the Feynman-Kac functional associated with a Brownian motion in a random potential. The potential is defined by attaching a heavy tailed positive potential around the Poisson point process. This model was first considered by Pastur (1977) and the first order term of the moment asymptotics was determined. In this paper, both moment and almost sure asymptotics are determined up to the second order. As an application, we also derive the second order asymptotics of the integrated density of states of the corresponding random Schrödinger operator.

연구 동기 및 목표

• 중력 꼬리가 있는 포아송 잡음에서 브라운 운동의 페인만-카츠 함수에 대한 두 번째 차수 점근적 성질을 유도하는 것.
• 파스타의 첫 번째 차수 모멘트 점근적 성질을 두 번째 차수 수정항까지 확장하는 것.
• 생존 확률의 거의 확실한 점근적 성질을 두 번째 차수까지 수립하는 것.
• 해당 임의의 슈뢰딩거 연산자에 대한 통합 밀도 함수의 두 번째 차수 점근적 성질을 규명하는 것.

제안 방법

• 큰 상자에서 주요 고유값을 분석하기 위해 변분 방법을 사용하는 것.
• 잡음의 尾행동을 제어하기 위해 대규모 편차 기법을 적용하는 것.
• 생존 확률과 모멘트 생성 함수 사이의 연결을 위해 페인만-카츠 공식을 활용하는 것.
• 포아송 점 과정의 모멘트 생성 함수(특성 함수 및 누적량을 통한)를 활용해 분산과 고차 모멘트를 계산하는 것.
• 관련 영역에서 $V_\omega(x)$ 와 $V_\omega(0)$ 의 차이를 추정하기 위해 타일러 전개와 국소화 기법을 사용하는 것.
• 스펙트럼 비교를 통해 유한한 상자에서 고유값 추정을 통해 통합 밀도 함수 문제를 축소하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 중력 꼬리가 있는 포아송 잡음에서 페인만-카츠 함수의 모멘트 점근적 성질에 대한 두 번째 차수 수정항은 무엇인가?
• RQ2 브라운 운동의 일반적인 경로는 중력 꼬리가 있는 잡음에서 어떻게 행동하는가? 생존 확률의 거의 확실한 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ3 이러한 잡음이 있는 임의의 슈뢰딩거 연산자에 대한 통합 밀도 함수의 두 번째 차수 점근적 행동은 무엇인가?
• RQ4 잡음 기여의 분산은 모멘트 점근적 성질의 두 번째 항에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 페인만-카츠 함수의 모멘트에 대한 두 번째 차수 점근적 성질는 $\exp\left\{ -a_1 t^{d/\beta} - a_2 t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma} + o(t^{d/\beta} (\log t)^{-\gamma}) \right\}$ 로 표현되며, 여기서 $a_1, a_2, \gamma$ 는 명시적인 상수이다.
• 생존 확률의 거의 확실한 점근적 성질가 모멘트 점근적 성질과 두 번째 차수까지 일치함을 보여주며, 일반적인 경로 행동을 확인한다.
• 큰 상자에서의 고유값 추정을 통해 통합 밀도 함수의 두 번째 차수 수정항이 유도되었으며, 이는 $\log t$ 의 의존성에 기반한 수정 항을 포함한다.
• 국소화 및 $|x|^{-\beta}$ 의 감쇠 성질로 인해 잡음 기여의 분산이 두 번째 차수 항에서 무시할 수 있음을 보였다.
• 큰 상자 $(-t,t)^d$ 에서의 주요 고유값이 $(\log t)^{-(\beta - d)/d}$ 의 속도로 감소하는 항으로 위쪽으로 유계임을 보였으며, 이는 통합 밀도 함수를 제어한다.