[논문 리뷰] Second order backward stochastic differential equations and fully non-linear parabolic PDEs

Patrick Cheridito, H. Meté Soner외 2명|ArXiv.org|2005. 09. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 2차 후행 확률미분방정식(2BSDEs)을 통해 완전히 비선형성인 포물형 PDE의 해에 대한 확률적 표현을 수립한다. 점도 해의 비교 원리와 단조성 조건이 만족될 경우, 2BSDE의 유일한 해가 관련 PDE의 점도 해와 대응됨을 증명하며, 이러한 PDE에 대해 몬테카를로 수치 해법을 가능하게 한다.

ABSTRACT

We introduce a class of second order backward stochastic differential equations and show relations to fully non-linear parabolic PDEs. In particular, we provide a stochastic representation result for solutions of such PDEs and discuss Monte Carlo methods for their numerical treatment.

연구 동기 및 목표

• 완전히 비선형성인 포물형 PDE의 해에 대해 제2의 후행 확률미분방정식(2BSDEs)을 이용한 확률적 표현을 수립하기 위해.
• 비교 원리와 단조성 조건이 만족될 경우, 2BSDE의 해가 관련된 완전히 비선형성인 PDE의 점도 해와 유일하게 대응됨을 증명하기 위해.
• 선형 제2차 항에 국한되는 반선형 및 준선형 경우에 국한되지 않고, 확률 방정식과 PDE 간의 연결을 확장하기 위해.
• 2BSDE 수식을 통해 완전히 비선형성인 PDE의 수치적 해법을 몬테카를로 방법으로 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 확산 과정 X_t에 의해 구동되는 적응 과정 (Y, Z, Γ, A)를 갖는 제2의 후행 확률미분방정식(2BSDE)을 수립한다.
• 이토의 보조정리를 사용하여, 연속미분이 3계까지 존재하는 해 v가 PDE에 대해 존재할 경우, (v(t,X_t), Dv(t,X_t), D^2v(t,X_t), L Dv(t,X_t))가 2BSDE를 만족함을 보인다.
• PDE에 대한 점도 해 이론을 적용하며, PDE의 값 함수에 대해 비교 원리가 성립한다고 가정한다.
• 해의 유일성과 안정성을 확보하기 위해 생성자 f에 대해 Y에 대한 리프시츠 연속성과 Γ에 대한 감소성 조건을 도입한다.
• 해의 과정 Y_t가 v(t,X_t)와 같음을 도출함으로써, 2BSDE의 해가 PDE의 해와 연결되는 확률적 표현을 유도한다.
• 영역 경계에서 정지 시간을 도입하여 경계값 문제에 맞게 프레임워크를 조정하며, 이를 통해 최종 조건을 적절히 수정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 제2의 후행 확률미분방정식(2BSDEs)이 완전히 비선형성인 포물형 PDE의 해에 대해 확률적 표현을 제공할 수 있는가?
• RQ2 2BSDE의 해가 관련된 PDE의 점도 해와 유일하게 대응되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 몬테카를로 방법을 통해 2BSDEs를 이용해 완전히 비선형성인 포물형 PDE를 수치적으로 풀 수 있는가?
• RQ4 2BSDE의 해가 존재하고 유일하기 위해 생성자 f와 최종 조건 g에 대해 필요한 정규성 및 구조적 조건는 무엇인가?
• RQ5 2BSDE 프레임워크는 측면 경계 조건을 갖는 경계값 문제로 확장될 수 있는가?

주요 결과

• 비교 원리 하에 관련 PDE가 연속적인 점도 해를 유일하게 갖는다면, 2BSDE는 유일한 해를 가짐을 보장한다.
• 2BSDE의 해 과정 Y_t는 Y_t = v(t, X_t)를 만족하며, 여기서 v는 PDE의 점도 해이다.
• PDE에 C^3 해가 존재할 경우, 2BSDE의 해가 존재함을 보여주며, 이를 충분조건로 제공한다.
• 해의 유일성과 안정성을 확보하기 위해 생성자 f는 Y에 대해 리프시츠 연속성이고, Γ에 대해 감소성을 가져야 한다.
• 2BSDE 프레임워크를 통해 완전히 비선형성인 PDE의 수치적 근사를 몬테카를로 시뮬레이션을 통해 가능하게 한다.
• 영역 경계에서 정지 시간을 도입함으로써 경계값 문제로의 확장이 가능하며, 이로 인해 2BSDE와 PDE 해 간의 대응 관계가 유지된다.