[논문 리뷰] Second-order BSDEs with general reflection and Dynkin games under uncertainty

Anis Matoussi, Lambert Piozin외 1명|arXiv (Cornell University)|2012. 12. 03.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 40인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 복소성 불확실성 하에서 상한 및 하한 장벽을 갖는 이중으로 반사된 2차 확률적 미분 방정식(DRBSDE)에 대한 잘 정의된 이론을 수립하며, 이는 이전의 반사된 2BSDE 연구를 확장한다. 이 논문은 이러한 DRBSDE를 불확실한 딜킨 게임과 연관지으며, 복소성 불확실성이 존재하는 시장에서 미국 게임 옵션의 수퍼- 및 서브-헤지 가격을 제공한다.

ABSTRACT

The aim of this paper is twofold. First, we extend the results of (32) concerning the existence and uniqueness of second-order reflected 2BSDEs to the case of upper obstacles. Then, under some regularity assumptions on one of the barriers, similar to the ones in (9), and when the two barriers are completely separated, we provide a complete wellposedness theory for doubly reflected second-order BSDEs. We also show that these objects are related to non-standard optimal stopping games, thus generalizing the connection between DRBSDEs and Dynkin games first proved by Cvitanic and Karatzas (10). More precisely, we show that the second order DRBSDEs provide solutions of what we call uncertain Dynkin games and that they also allow us to obtain super and subhedging prices for American game options (also called Israeli options) in financial markets with volatility uncertainty. �

연구 동기 및 목표

• 2차 반사된 2BSDE에 대한 존재성 및 유일성 결과를 상한 장벽이 있는 경우로 확장한다.
• 두 장벽이 완전히 분리된 경우에 대해 이중으로 반사된 2차 BSDE에 대한 완전한 잘 정의된 이론을 수립한다.
• 2차 DRBSDE와 모델 불확실성 하에서의 비표준 최적 정지 게임 간의 연결 고리를 설정한다.
• 이론을 적용하여 복소성 불확실성이 존재하는 금융 시장에서 미국 게임 옵션(히브리 옵션)의 수퍼- 및 서브-헤지 가격을 유도한다.

제안 방법

• 적절한 정규성 조건 하에서 비교 원리를 사용하여 이전의 2차 반사된 2BSDE 결과를 상한 장벽을 포함하도록 확장한다.
• 정규성 조건을 (9)와 유사하게 한 장벽에 도입하여 잘 정의된 이론 분석을 위한 충분한 매끄러움을 확보한다.
• 이중 반사 방법을 사용하여 상한 및 하한 장벽을 동시에 처리함으로써 해가 장벽 영역 내에 유지되도록 보장한다.
• 비선형 기대값 프레임워크를 사용하여 복소성 불확실성을 모델링하며, 2차 BSDE 이론과 일관된다.
• 검증 추론을 통해 DRBSDE 해와 불확실한 딜킨 게임의 가치 과정 간의 연결 고리를 설정한다.
• DRBSDE 해를 복소성 불확실성 하에서 옵션 가격의 상한 및 하한으로 해석함으로써 미국 게임 옵션에 대한 헤지 경계를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상한 및 하한 장벽을 갖는 2차 이중 반사된 BSDE가 유일한 해를 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 2차 BSDE 이론은 어떻게 반사 설정에서 상한 장벽을 다룰 수 있는가?
• RQ3 2차 DRBSDE와 모델 불확실성 하에서의 최적 정지 게임 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 2차 DRBSDE는 복소성 불확실성이 존재하는 시장에서 미국 게임 옵션의 수퍼- 및 서브-헤지 전략과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 2차 DRBSDE의 해는 불확실한 딜킨 게임의 가치로 해석될 수 있는가?

주요 결과

• 두 장벽이 완전히 분리되어 있고, 한 장벽이 (9)와 유사한 정규성 조건을 만족할 경우, 2차 이중 반사된 BSDE에 대한 해의 존재성 및 유일성이 수립된다.
• 2차 DRBSDE의 해는 불확실한 딜킨 게임의 가치 과정과 대응됨이 입증되며, 고전적인 Cvitanic-Karatzas 연결을 일반화한다.
• DRBSDE 프레임워크는 복소성 불확실성이 존재하는 상황에서 미국 게임 옵션의 수퍼- 및 서브-헤지 가격을 강력하게 특성화한다.
• 이론은 고전적인 DRBSDE와 딜킨 게임의 연결 고리를 2차 설정으로 확장하며, 복소성 불확실성을 복소성 과정에 통합한다.
• 이중 반사 메커니즘 덕분에 해는 장벽 영역 내에 유지되어 게임의 정지 제약 조건과 일관성을 확보한다.
• 결과는 비선형 기대값 프레임워크 하에서 도출되었으며, 특정 확률 측도를 가정하지 않고도 복소성 불확실성을 허용한다.