[논문 리뷰] Second order difference approximation for a class of Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay

Mahdi Saedshoar Heris, Mohammad Javidi|arXiv (Cornell University)|2018. 11. 26.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 44인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 Riesz 공간 분수 적분형 이동-분산 방정식에 지연을 포함한 RFADED(Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay)을 해결하기 위해 분수 후방 차분 공식(FBDF)과 이동 그룬발트 차분(WSGD) 방법을 기반으로 한 두 번째 차수 정확도를 갖는 유한 차분 스킴을 제안한다. 이 방법은 조건부 안정성과 수렴성을 확보하며, 정확도가 $\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$이다. 또한 미타그레플레르 함수를 이용한 해석적 해가 유도되었다. 수치 결과는 다양한 분수 차수와 지연 매개변수에 대해 높은 정확도와 효율성을 확인한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose numerical scheme for the Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay (RFADED). Firstly, analytical solution for RFADED in terms of the functions of Mittag-Leffler type is derived. Secondly, the fractional backward differential formulas (FBDF) method and shifted Grünwald method are introduced to the Riesz space fractional derivatives. Next, stability and convergency of these methods have been proved. Thirdly, Crank-Nicolson scheme for solving this problem is proposed. We prove that the scheme is conditionally stable and convergent with the order accuracy of ${ m O}({κ^2} + {h^2})$. Finally, some numerical results are given to demonstrate that presented method is a computationally efficient and accurate method for solving RFADED.

연구 동기 및 목표

• RFADED(Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay)를 해결하기 위한 수치 스킴을 개발하기 위해, 분수 도함수와 시간 지연의 조합으로 인해 복잡한 문제를 다루는 것.
• RFADED에 대한 해석적 해를 미타그레플레르 함수의 형태로 유도하여 수치 결과의 이론적 검증을 가능하게 하는 것.
• 분수 후방 차분 공식(FBDF)과 이동 그룬발트 차분(WSGD)을 사용하여 공간 Riesz 분수 도함수에 대해 두 번째 차수 정확도를 갖는 유한 차분 방법을 수립하는 것.
• 제안된 크랭크-니콜슨 유형 스킴의 조건부 안정성과 수렴성을 증명하며, 정확도가 $\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$임을 보이는 것.
• 다양한 분수 차수와 지연 매개변수에 대한 수치 실험을 통해 방법의 계산 효율성과 정확도를 입증하는 것.

제안 방법

• 공간 분수 도함수인 Riesz 공간 분수 도함수는 이동 그룬발트 차분(WSGD) 방법을 사용하여 근사하며, 이는 공간에서 두 번째 차수 정확도를 제공한다.
• 시간 분수 도함수의 차수 $\gamma \in (0,1)$는 분수 후방 차분 공식(FBDF) 방법을 사용하여 근사하며, 시간에서 두 번째 차수 정확도를 보장한다.
• FBDF를 시간에, WSGD를 공간에 적용하여 크랭크-니콜슨 유형 스킴을 구성함으로써, 각 시간 단계에서 해석 가능한 선형 시스템을 도출한다.
• 이론적 분석을 통해 이산 에너지 방법을 사용하여 스킴의 안정성과 수렴성을 엄밀히 증명하였으며, 시간 단계 제약 조건 하에 조건부 안정성을 입증하였다.
• 지연 항은 초기 역사 함수 $g(x,t)$를 시간 간격 $t \in [0, \tau]$ 동안 명시적으로 처리함으로써 다루며, 이는 표준 RFADE 문제로의 환원을 가능하게 한다.
• 해석적 해는 라플라스 변환을 사용하여 유도되었으며, 미타그레플레르 함수의 형태로 표현되어 수치 결과의 검증 기준으로 기능한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 FBDF 및 WSGD 방법을 사용하여 RFADED(Riesz space fractional advection-dispersion equations with delay)에 대해 두 번째 차수 정확도를 갖는 수치 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 제안된 크랭크-니콜슨 유형 스킴의 안정성과 수렴성 행동은 어떠한가? 그리고 그 유효성을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ3 분수 차수 $\alpha$, $\beta$, $\gamma$와 지연 $\tau$의 다양한 값에 대해 제안된 방법의 정확도와 계산 효율성은 어떻게 되는가?
• RQ4 RFADED에 대한 해석적 해를 미타그레플레르 함수의 형태로 표현할 수 있으며, 이는 수치 결과와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법의 수렴 속도는 공간과 시간에서 각각 어떻게 되며, 기존의 표준 L1/그룬발트 근사와 비교해보면 어떠한가?

주요 결과

• 제안된 크랭크-니콜슨 스킴은 시간($\kappa^2$)과 공간($h^2$)에서 모두 두 번째 차수 정확도를 갖는 조건부 안정성과 수렴성을 확보하며, 수렴 속도는 $\mathcal{O}(\kappa^2 + h^2)$이다.
• 수치 실험 결과, $\alpha = 0.5$, $\beta = 1.6$, $\gamma = 0.2$일 때 공간 수렴 차수는 약 2.0으로 나타나며, $h$를 반으로 줄임에 따라 오차는 $1.4195 \times 10^{-4}$에서 $9.0898 \times 10^{-6}$로 감소한다.
• $\alpha = 0.2$, $\beta = 1.9$, $\gamma = 0.5$일 때, $h = 1/128$에서 공간 수렴 차수는 2.00에 도달하여 두 번째 차수 정확도를 확인한다.
• 시간 방향에서도 두 번째 차수 수렴을 유지하며, 다양한 매개변수 조합에서 수렴 차수는 1.85~2.02로 나타나 시간 정확도가 뛰어나다는 것을 보여준다.
• 예제 2에서의 절대 오차는 $h = \kappa = 1/16$일 때 항상 $6.1 \times 10^{-4}$ 이하였으며, $h = \kappa = 1/128$일 때는 $1.03 \times 10^{-5}$로 감소하여 높은 정확도를 입증한다.
• RFADED에 대한 해석적 해는 미타그레플레르 함수의 형태로 성공적으로 유도되었으며, 이는 수치 스킴 검증을 위한 정확한 기준이 되었다.