[논문 리뷰] Second order discretization of Backward SDEs

Dan Crisan, K. Manolarakis|arXiv (Cornell University)|2010. 12. 27.

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 이차형 수치적 시간 적분 기법과 큐버처 방법을 조합하여 후행 확률미분방정식(BSDEs)에 대한 이차수 이산화 기법을 제안한다. 이는 매끄럽거나 리프시츠 연속인 종료 조건 하에서 수렴 속도 $\mathcal{O}(1/n^2)$ 를 달성한다. 기존 일차수 방법에 비해 시간 분할을 특화하고 조건부 기댓값의 오차를 제어함으로써 더 높은 정확도를 가능하게 한다.

ABSTRACT

In [5] the authors suggested a new algorithm for the numerical approximation of a BSDE by merging the cubature method with the first order discretization developed by [3] and [16]. Though the algorithm presented in [5] compared satisfactorily with other methods it lacked the higher order nature of the cubature method due to the use of the low order discretization. In this paper we introduce a second order discretization of the BSDE in the spirit of higher order implicit-explicit schemes for forward SDEs and predictor corrector methods.

연구 동기 및 목표

• 기존 방법의 일차수 수렴 속도를 초월하는 BSDE에 대한 이차수 수치적 스킴을 개발하기 위해.
• 암시-비암시(IMEX) 스킴과 예측-수정 방법에 영감을 받은 고차수 시간 이산화 기법을 BSDE의 해법에 통합하기 위해.
• 종료 조건 $\Phi$가 오직 리프시츠 연속일 경우에도 시간 이산화 단계에서 이차수 수렴을 달성하기 위해.
• 해의 도함수가 종단 시간 근처에서 발산할 경우 오차 증가를 제어하기 위해 $T$ 근처에서 더욱 조밀해지는 비균일 시간 분할을 설계하기 위해.
• 새로운 이산화 기법과 효율적인 조건부 기댓값 계산을 조합하여 수치적으로 실행 가능한 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 논문은 표준 일차수 후행 스킴을 개선하기 위해 고차수 보정을 도입한 이차수 이산화 스킴(3.8)을 도입한다.
• 정확도를 향상시키기 위해 예측-수정 구조를 사용하며, 이는 연산자 $L^\alpha u$ 를 통해 해의 네 번째 및 다섯 번째 도함수 기반 보정을 포함한다.
• 종료 조건 $\Phi$가 리프시츠일 경우 $T$ 근처에서 도함수의 특이성을 다루기 위해 비균일 시간 분할 $t_i = T(1 - (1 - i/n)^\beta)$ (여기서 $\beta \geq 5$) 를 적용한다.
• 오차 전파를 제어하기 위해 이산 그론월라 불리한 부등식을 활용하여 시간 단계 간 오차 전파를 극복함으로써 이차수 수렴을 보장한다.
• 후행 단계에서의 조건부 기댓값은 몬테카를로 샘플링과 확률적 적분을 위한 큐버처 방법의 조합을 통해 근사한다.
• 분석을 통해 오차 한계는 $\delta_{i+1}^5 \max_{\|\alpha\|=4,5} \|L^\alpha u(t_{i+1},\cdot)\|^2_\infty$ 를 포함하며, 이는 비균일 분할을 통해 제어된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종료 조건이 오직 리프시츠 연속일 경우에도 고정된 정확도를 유지하는 이차수 시간 이산화 기법을 BSDE에 구성할 수 있는가?
• RQ2 해의 도함수가 종단 시간 근처에서 무한대가 되는 경우 오차 증가를 어떻게 제어할 수 있는가?
• RQ3 저조화성 있는 종료 조건이 존재하는 상황에서 이차수 수렴을 달성할 수 있는 시간 분할 전략은 무엇인가?
• RQ4 고차수 IMEX 유형의 스킴을 FBSDE의 후행 성분에 적응시켜 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ5 큐버처 방법의 사용이 BSDE 해법의 전체 수렴 차수에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 이차수 스킴은 종료 조건 $\Phi$가 매끄러울 경우 가정 (A) 및 (B) 하에서 수렴 속도 $\mathcal{O}(1/n^2)$ 를 달성한다.
• 리프시츠 연속인 $\Phi$의 경우 비균일 시간 분할($\beta \geq 5$)을 사용함으로써 여전히 $\mathcal{O}(1/n^2)$ 수렴을 유지한다.
• 오차 한계는 이산 그론월라 부등식을 통해 유도되며, 시간 단계 간 오차 전파를 제어한다.
• 주요 오차 항은 $\mathcal{O}(\delta_{i+1}^5 \max_{\|\alpha\|=4,5} \|L^\alpha u(t_{i+1},\cdot)\|^2_\infty)$ 로 나타나며, 이는 비균일 분할 상에서 적분 가능하다.
• 첫 번째 후행 단계에서 기인하는 오차는 $\mathcal{O}(\delta_n^2)$ 이며, 비균일 분할 하에서는 $\mathcal{O}(1/n^2)$ 가 되어 전체적으로 이차수 수렴이 보장된다.
• 표준 가정 (A), (B), 및 (C1) 하에서 안정성이 보장되며, $\mathbb{E}[|Z_t|^2]$ 와 $\mathbb{E}[|Z^\pi_{1,t_{n-1}}|^2]$ 가 유계이므로 수치적 안정성이 확보된다.