[논문 리뷰] Second-order finite difference approximations of the upper-convected time derivative

Oishi, Cassio Machiaveli|arXiv (Cornell University)|2021. 01. 01.

Fluid Dynamics and Vibration Analysis참고 문헌 55인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 일반화된 리 도함수(Generic Lie Derivative, GLD) 프레임워크를 사용하여 점성유동 시뮬레이션에서 상위-편미분 시간 도함수에 대한 이阶 정확도를 가진 유한차분 스킴을 제시한다. GLD와 특성기반 라그랑주 이산화 및 선형/이차보간을 조합함으로써, 큰 선형 시스템을 해결할 필요 없이 안정적이고 명시적인 갱신을 가능하게 하여 고위센베르그 수에서 올드로이드-B 모델의 견고한 시뮬레이션을 실현한다.

ABSTRACT

In this work, new finite difference schemes are presented for dealing with the upper-convected time derivative in the context of the generalized Lie derivative. The upper-convected time derivative, which is usually encountered in the constitutive equation of the popular viscoelastic models, is reformulated in order to obtain approximations of second-order in time for solving a simplified constitutive equation in one and two dimensions. The theoretical analysis of the truncation errors of the methods takes into account the linear and quadratic interpolation operators based on a Lagrangian framework. Numerical experiments illustrating the theoretical results for the model equation defined in one and two dimensions are included. Finally, the finite difference approximations of second-order in time are also applied for solving a two-dimensional Oldroyd-B constitutive equation subjected to a prescribed velocity field at different Weissenberg numbers.

연구 동기 및 목표

• 점성유동 구성 방정식에서 상위-편미분 시간 도함수에 대한 이阶 정확도를 가진 유한차분 근사법을 개발하기 위해.
• 일반화된 리 도함수(Generic Lie Derivative, GLD) 프레임워크를 활용하여 전통적인 에일리언 업윈드 스킴의 안정성 및 정확도 한계를 극복하기 위해.
• 크기 큰 선형 시스템을 해결할 필요 없이 명시적이고 안정적인 시간 적분기를 구성하기 위해.
• 라그랑주 보간을 사용하여 시간에 대해 이阶 수렴을 달성하고 공간적으로 p-차 정확도를 확보하기 위해.
• 1D 및 2D 모델 문제와 다양한 위센베르크 수에서의 2D 올드로이드-B 방정식에 대해 방법을 검증하기 위해.

제안 방법

• 일반화된 리 도함수(Generic Lie Derivative, GLD)를 사용하여 상위-편미분 시간 도함수를 재구성함으로써 고차 정확도의 시간 이산화를 가능하게 하기 위해.
• 유체 입자의 궤적을 추적하고 물질 도함수를 그들 沿해 이산화하기 위해 라그랑주 프레임워크 내에서 특성법을 적용하기 위해.
• t−Δt, t, t+Δt 시점의 값에 기반한 3단계 스킴을 사용하여 O(Δt²) 절삭 오차를 갖는 이阶 시간 이산화를 실현하기 위해.
• 이전 시간 수준에서의 필드 값을 재구성하기 위해 선형(p=1) 및 이차(p=2) 라그랑주 보간을 사용하기 위해.
• 단지 행렬 연산과 보간만을 사용하여 암시적 해법을 필요로 하지 않는 스트레스 텐서에 대한 명시적 갱신 공식을 구성하기 위해.
• 예측-보정 스타일 알고리즘을 구현하여 t−Δt 및 t+Δt 지점에서 보간을 수행함으로써 시간에 대해 이阶 정확도를 달성하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 리 도함수 프레임워크를 사용하여 상위-편미분 시간 도함수에 대한 이阶 정확도를 가진 유한차분 스킴을 구성할 수 있는가?
• RQ2 GLD와 라그랑주 특성법을 조합하면 큰 선형 시스템을 해결할 필요 없이 안정적이고 명시적인 시간 적분기를 얻을 수 있는가?
• RQ3 제안된 스킴의 절삭 오차 행동은 어떠한가? 시간에 대해 이阶 수렴을 달성할 수 있는가?
• RQ4 모델 문제와 2D 올드로이드-B 방정식에 대해 수치적으로 어떻게 성능을 발휘하는가? 다양한 위센베르크 수에서의 성능을 평가하기 위해.
• RQ5 표준 에일리언 업윈드 스킴과 달리, CFL 조건을 강제로 이행할 필요 없이 정확도와 안정성을 유지할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 스킴은 시간에 대해 이阶 정확도를 달성하며, 일반화된 리 도함수 근사에 대해 O(Δt²) 절삭 오차의 엄밀한 증명을 제공한다.
• 메서드는 명시적으로 갱신되며 큰 선형 시스템을 해결할 필요 없이, 암시적 업윈드 스킴에 비해 계산적 이점을 제공한다.
• 수치 실험을 통해 선형 및 이차 보간 조건에서 1D 및 2D 모델 문제에 대해 시간에 대해 이阶 수렴이 확인된다.
• 고위센베르크 수(Wi=10까지)에서 2D 올드로이드-B 구성 방정식을 성공적으로 시뮬레이션하여 견고성과 안정성을 입증한다.
• GLD와 라그랑주 보간의 조합은 대기류 지배 영역에서도 입자 궤적을 따라 스트레스 필드를 정확하게 재구성할 수 있도록 한다.
• 표준 에일리언 업윈드 접근법과 달리, 이 메서드는 CFL 조건을 요구하지 않는다는 점에서 조건부 안정성 없이도 안정적이다.