[논문 리뷰] Second order Lyapunov exponents for parabolic and hyperbolic Anderson models

Raluca M. Balan, Jian Song|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 08.

Random Matrices and Applications인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 임의의 차원 $d$에서 시간-백색, 공간적으로 동일한 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 쌍곡형 및 포물형 앤더슨 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수 사이에 깊이 분석적인 연결을 수립한다. 통합된 변분 공식과 에너지 함수의 척도 성질을 활용하여, 두 모델에 대해 두 가지 공간 공분산 구조에서 상한 두 번째 차수 리아프누프 지수의 정확한 표현식을 도출한다: (i) 국소 적분 가능한 비음성 스펙트럼 측도와 (ii) 차원 $d=1$에서 $1/4 < H < 1/2$인 분수 Browning 운동. 이는 최근 포물형 모델에 대한 결과를 쌍곡형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article, we consider the hyperbolic and parabolic Anderson models in arbitrary space dimension $d$, with constant initial condition, driven by a Gaussian noise which is white in time. We consider two spatial covariance structures: (i) the Fourier transform of the spectral measure of the noise is a non-negative locally-integrable function; (ii) $d=1$ and the noise is a fractional Brownian motion in space with index $1/4

연구 동기 및 목표

• 임의의 공간 차원 $d$에서 시간-백색, 공간적으로 동일한 가우시안 노이즈에 의해 구동되는 쌍곡형 앤더슨 모델의 두 번째 차수(상한) 리아프누프 지수를 계산하는 것.
• 쌍곡형 및 포물형 앤더슨 모델의 해의 두 번째 모멘트의 라플라스 변환 사이에 뚜렷한 유사성을 확립하는 것.
• 두 가지 공간 공분산 구조에서 두 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수를 통합하여 계산하는 것: (i) 국소 적분 가능한 비음성 스펙트럼 측도와 (ii) 차원 $d=1$에서 $1/4 < H < 1/2$인 분수 브라운 운동.
• 변분 방법과 에너지 함수의 척도 성질을 활용하여 최근 포물형 모델에 대한 결과를 쌍곡형 경우로 확장하는 것.

제안 방법

• 라플라스 변환과 에너지 함수 $\mathcal{E}(f,A)$를 사용하여 해의 두 번째 모멘트에 대한 변분 표현을 유도한다.
• 리에츠 타입 공분산 $f(x) = |x|^{-\alpha}$ ($0 < \alpha < 2$)에 대해 척도 성질 $\mathcal{E}(\theta f) = \theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$를 사용하고, 분수 노이즈에 대해 인덱스 $H \in (1/4, 1/2)$일 때 $\mathcal{E}(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$를 사용한다.
• 공통의 변분 구조를 통해 쌍곡형 및 포물형 모델의 두 번째 모멘트의 라플라스 변환 간의 등가성을 확립한다.
• 공통의 에너지 함수와 척도 행동을 활용하여 [16]의 방법을 포물형 모델에 적용한 것과 동일하게 쌍곡형 경우에 적용한다.
• 분수 브라운 운동 노이즈의 경우 $d=1$에서 스펙트럼 측도 $\mu(d\xi) = c_H |\xi|^{1-2H} d\xi$가 함수가 아니므로, 푸리에 분석과 분포적 정규화를 사용한다.
• 척도 항등식 $\mathcal{E}_2(\theta \Gamma) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(\Gamma)$를 증명하고, $\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$를 통해 $\mathcal{E}_2(\Gamma)$와 $\mathcal{E}(\Gamma)$를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 시간-백색, 공간적으로 동일한 가우시안 노이즈를 가진 임의의 차원 $d$에서의 쌍곡형 앤더슨 모델에 대한 두 번째 차수 리아프누프 지수는 무엇인가?
• RQ2 동일한 노이즈 조건 하에서 쌍곡형 및 포물형 앤더슨 모델의 두 번째 모멘트의 라플라스 변환은 어떻게 비교되는가?
• RQ3 공간 공분산이 리에츠 커널 $f(x) = |x|^{-\alpha}$ ($0 < \alpha < 2$)로 주어질 때, 두 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수를 통합된 변분 방법으로 계산할 수 있는가?
• RQ4 에너지 함수 $\mathcal{E}(f,A)$는 공간 공분산 변환 하에서 어떤 척도 행동을 보이며, 이러한 척도 성질은 정확한 지수 계산을 어떻게 가능하게 하는가?
• RQ5 공간 차원 $d=1$에서 인덱스 $H \in (1/4, 1/2)$인 분수 브라운 운동 노이즈일 때, 쌍곡형 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수의 행동은 어떻게 되는가?

주요 결과

• 쌍곡형 앤더슨 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수는 변분 공식 $\mathcal{E}(f,A)$를 사용하여 정확히 계산되었으며, 이는 포물형 경우에 알려진 결과를 확장한다.
• 리에츠 커널 공분산 $f(x) = |x|^{-\alpha}$ ($0 < \alpha < 2$)의 경우, 두 번째 차수 리아프누프 지수는 $\theta^{2/(2-\alpha)} \mathcal{E}(f)$로 척도가 맞고, 여기서 $\mathcal{E}(f)$는 에너지 함수이다.
• 차원 $d=1$에서 $H \in (1/4, 1/2)$인 분수 브라운 운동 노이즈의 경우, 두 번째 차수 리아프누프 지수는 $\theta^{1/H} \mathcal{E}(\Gamma)$로 척도가 맞고, 여기서 $\Gamma$는 스펙트럼 분포이다.
• 쌍곡형 모델의 에너지 함수 $\mathcal{E}_2(f)$는 $\mathcal{E}_2(\theta f) = \theta^{1/H} \mathcal{E}_2(f)$를 만족하고, $\mathcal{E}_2(\Gamma) = 2^{-(1-H)/H} \mathcal{E}(\Gamma)$를 통해 $\mathcal{E}_2(\Gamma)$와 $\mathcal{E}(\Gamma)$를 연결하여 두 모델을 척도를 통해 연결한다.
• 동일한 노이즈와 공분산 구조 하에서 쌍곡형 및 포물형 모델의 두 번째 모멘트의 라플라스 변환은 동일하다는 것이 입증되었으며, 이는 깊이 있는 구조적 유사성을 드러낸다.
• 이 방법은 두 모델의 두 번째 차수 리아프누프 지수 계산을 통합하여, 광범위한 공간 공분산 클래스에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공한다.