[논문 리뷰] Second order parameter-uniform convergence for a finite difference method for a singularly perturbed linear parabolic system

Franklin Victor, Joseph Paramasivam Mathiyazhagan외 2명|arXiv (Cornell University)|2010. 08. 14.

Differential Equations and Numerical Methods참고 문헌 5인용 수 26

한 줄 요약

이 논문은 서로 다른 작은 매개수를 가진 특성화된 선형 포물선 시스템에 대해 Shishkin 조각별 균일 메쉬 위에서 유한차분 방법을 제시한다. 시간에 대해 일계 수렴성과 공간에 대해 이계 수렴성을 증명하며, 모든 섭동 매개수에 대해 균일하게 성립하며, 해의 철저한 분해와 이산 최대원리 분석을 통해 공간에서 이계 수렴성을 달성한다.

ABSTRACT

A singularly perturbed linear system of second order partial differential equations of parabolic reaction-diffusion type with given initial and boundary conditions is considered. The leading term of each equation is multiplied by a small positive parameter. These singular perturbation parameters are assumed to be distinct. The components of the solution exhibit overlapping layers. Shishkin piecewise-uniform meshes are introduced, which are used in conjunction with a classical finite difference discretisation, to construct a numerical method for solving this problem. It is proved that the numerical approximations obtained with this method are first order convergent in time and essentially second order convergent in the space variable uniformly with respect to all of the parameters.

연구 동기 및 목표

• 다양한 서로 다른 작은 매개수를 가진 특성화된 포물선 시스템을 위한 강건한 수치적 방법을 개발한다.
• 서로 다른 섭동 매개수를 가진 선형 포물선 반응-확산 시스템에서의 겹치는 경계층 문제를 다룬다.
• 특히 공간에서 이계 수렴성을 달성함과 동시에 시간과 공간에서 매개수 균일 수렴성을 확보한다.
• 기존의 스칼라 및 이성분 시스템의 결과를 일반적인 n성분 시스템으로 확장한다.
• 매개수가 크기의 차이가 클 경우에도 수렴성이 균일하게 유지됨을 증명한다.

제안 방법

• 경계층 근처에서 자동으로 메쉬를 세밀하게 조절하는 Shishkin 조각별 균일 메쉬 위에 전통적인 유한차분 이산화를 적용한다.
• 오차를 별도로 분석하기 위해 해를 스무스 성분과 특이 성분으로 분해한다.
• 안정성과 수렴성을 보장하기 위해 이산 연산자에 대한 이산 최대원리를 확립한다.
• 스무스 성분과 특이 성분에 대한 날카운 bounds를 사용하여 국소 절삭 오차를 분석한다.
• 특히 레미마 7에서 특이 성분에 대한 날카운 추정을 도출하기 위해 수학적 귀납법을 사용한다.
• 비교 원리와 메쉬에 의존하는 bounds를 사용하여 도메인의 다양한 영역에서 이산 해의 오차를 통제한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Shishkin 메쉬 위의 유한차분 방법이 일반적인 n성분 특성화된 포물선 시스템에서 공간에서 이계 수렴성을 달성할 수 있는가?
• RQ2 모든 작은 섭동 매개수 εi에 대해 수렴 속도가 균일하게 유한한가?
• RQ3 겹치는 경계층은 수렴 행동에 어떤 영향을 미치며, 조각별 균일 메쉬를 사용해 효과적으로 다룰 수 있는가?
• RQ4 주어진 가정 하에 비대칭이지만 M행렬 유사한 구조를 가진 시스템의 경우 이산 최대원리를 확장할 수 있는가?
• RQ5 시간과 공간에서의 정확한 수렴 차수는 무엇이며, 모든 매개수 값에 대해 균일하게 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 해법은 모든 섭동 매개수에 대해 균일하게 시간에 대해 일계 수렴성을 보인다.
• 해법은 모든 매개수에 대해 균일하게 공간에서 이계 수렴성을 보이며, 로그 인자와 함께 제공된다.
• 오차 bound는 ||U - u|| ≤ C N⁻² (ln N)³ 로 주어지며, 이는 매개수 균일 수렴성을 증명한다.
• 수학적 귀납법을 통해 도출된 특이 성분에 대한 날카운 bounds에 기반하여 분석이 이루어진다.
• 이산 최대원리와 비교 원리는 비대칭이지만 M행렬 유사한 구조를 가진 시스템의 경우에도 성공적으로 확장되었다.
• 적절한 메쉬 그레딩과 매개수에 의존하는 추정을 통해 가장 작은 매개수 εn이 다른 매개수보다 훨씬 작을 경우에도 수렴성이 균일하게 유지된다.