[논문 리뷰] Second order statistics characterization of Hawkes processes and non-parametric estimation

Emmanuel Bacry, Jean–François Muzy|arXiv (Cornell University)|2014. 01. 05.

Point processes and geometric inequalities참고 문헌 17인용 수 28

한 줄 요약

이 논문은 다변량 하크스 과정의 이阶 통계량이 유일한 해를 갖는 위너-홉프 적분 방정식 시스템을 통해 기저의 커널 행렬을 완전히 특징짓는다는 것을 입증한다. 저자들은 가우시안 구적법을 사용하여 이 시스템을 수치적으로 역행렬화하는 비모수적 추정 방법을 제안하며, 이는 표시된 마킹과 다변량 하크스 과정에 대해 빠르고 확장 가능한 추정을 가능하게 한다. 이는 거래 및 지진 데이터에 대해 힘의 법칙과 비양수 커널을 갖는 데 검증되었다.

ABSTRACT

We show that the jumps correlation matrix of a multivariate Hawkes process is related to the Hawkes kernel matrix through a system of Wiener-Hopf integral equations. A Wiener-Hopf argument allows one to prove that this system (in which the kernel matrix is the unknown) possesses a unique causal solution and consequently that the second-order properties fully characterize a Hawkes process. The numerical inversion of this system of integral equations allows us to propose a fast and efficient method, which main principles were initially sketched in [Bacry and Muzy, 2013], to perform a non-parametric estimation of the Hawkes kernel matrix. In this paper, we perform a systematic study of this non-parametric estimation procedure in the general framework of marked Hawkes processes. We describe precisely this procedure step by step. We discuss the estimation error and explain how the values for the main parameters should be chosen. Various numerical examples are given in order to illustrate the broad possibilities of this estimation procedure ranging from 1-dimensional (power-law or non positive kernels) up to 3-dimensional (circular dependence) processes. A comparison to other non-parametric estimation procedures is made. Applications to high frequency trading events in financial markets and to earthquakes occurrence dynamics are finally considered.

연구 동기 및 목표

• 다변량 하크스 과정의 두 번째 차수적 구조와 그 커널 행렬 사이의 일대일 대응을 확립하기 위해.
• 커널 함수의 매개수 형태를 가정하지 않는 비모수적 추정 방법을 개발하기 위해.
• 조각별로 일정한 마킹 함수를 갖는 마킹된 하크스 과정으로 방법을 확장하기 위해.
• 추정 오차, 매개수 선택 및 수렴 성질에 대한 체계적인 분석을 제공하기 위해.
• 실제 데이터, 특히 고주파 거래 및 지진 시계열에서 이 방법의 효과성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 이 방법은 커널 행렬 Φ(t)와 점프 상관행렬 g(t)를 연결하는 위너-홉프 적분 방정식 시스템에 기반하며, 이는 고유한 인과적 해를 갖는 것으로 밝혀졌다.
• 가우시안 구적법을 사용하여 위너-홉프 시스템을 수치적으로 역행렬화함으로써, 신속하고 안정적인 비모수적 추정이 가능해졌다.
• 마킹된 하크스 과정의 경우, 마킹이 조각별 일정할 때 커널 행렬과 마킹 함수 행렬을 함께 추정할 수 있도록 방법이 적응되었다.
• 추정 절차는 단계별로 구현되었으며, 편향과 분산을 제어하기 위한 대역폭과 정규화 매개수 선택에 대한 힌트가 포함되었다.
• 기존의 비모수적 접근법, 예를 들어 EM 및 라소 정규화 기반 사전 정의 기반 추정과의 비교가 이루어졌다.
• 이론적 오차 경계가 유도되었으며, 헬더 연속성과 커널의 정규성 조건 하에 편향은 O(h^β)의 순서, 분산은 O(1/(Rh))의 순서임을 보였다. 여기서 h는 대역폭이고 R은 조건화 사건의 수이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다변량 하크스 과정의 두 번째 차수 상관 구조가 그 커널 행렬을 유일하게 결정할 수 있는가?
• RQ2 비모수적 형태를 가정하지 않고도 안정적이고 효율적인 하크스 커널 추정 방법이 존재하는가?
• RQ3 조각별 일정한 마킹을 갖는 마킹된 하크스 과정에 대해 제안된 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ4 비모수적 추정 절차의 수렴성 및 오차 성질은 무엇이며, 핵심 매개수는 어떻게 선택해야 하는가?
• RQ5 기존의 비모수적 접근법, 예를 들어 EM 또는 라소 기반 추정과 비교했을 때 정확성과 확장성 측면에서 이 방법은 어떻게 성능을 발휘하는가?

주요 결과

• 다변량 하크스 과정의 두 번째 차수적 구조는 유일한 해를 갖는 위너-홉프 적분 방정식 시스템을 통해 그 커널 행렬을 완전히 특징짓는다.
• 제안된 비모수적 추정 방법은 헬더 연속성과 커널 정규성 조건 하에 편향이 O(h^β)의 순서, 분산이 O(1/(Rh))의 순서임을 보였다.
• 이 방법은 확장 가능하고 효율적이며, 1차원 및 3차원 과정, 특히 금융 및 지진 데이터를 포함한 대규모 데이터셋을 처리할 수 있었다.
• EUREX에서의 고주파 거래 데이터에 대한 추정된 커널은 힘의 법칙 함수로 잘 맞아떨어지며, 모델의 실증적 타당성을 뒷받침한다.
• 조각별 일정한 마킹을 갖는 마킹된 하크스 과정의 경우, 이 방법은 커널 행렬과 마킹 함수 행렬을 비교적 높은 정확도로 함께 추정할 수 있었다.
• 비국소적이고 부드러운 커널, 예를 들어 힘의 법칙과 같은 경우, 희박성 가정이 실패할 때, 이 방법은 EM 기반 및 라소 정규화 기반 방법보다 성능이 뛰어나다.