[논문 리뷰] Second variational derivative of gauge-natural invariant Lagrangians and conservation laws

M. Francaviglia, Marcella Palese외 1명|ArXiv.org|2004. 11. 08.

Nonlinear Waves and Solitons참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 무한소 주기계 자동형사의 군형 상승의 수직 부분에 대한 제2변분도를 사용하여, 공변적이고 강력하게 보존되는 전류와 게이지-자연스러운 불변 라그랑지안에서 유도된 변형 라그랑지안 사이의 표준적인 연관성을 수립한다. 핵심 결과는 이러한 전류가 정확히 이러한 벡터장이 일반화된 게이지-자연스러운 자코비 사상의 핵에 있을 때만 나타나며, 이는 게이지-자연스러운 설정에서 노이터의 제2정리의 일반화이자 보존 법칙과 일반화된 비앙키 항등식 사이의 연결고리이다.

ABSTRACT

We consider the second variational derivative of a given gauge-natural invariant Lagrangian taken with respect to (prolongations of) vertical parts of gauge-natural lifts of infinitesimal principal automorphisms. By requiring such a second variational derivative to vanish, {\em via} the Second Noether Theorem we find that a covariant strongly conserved current is canonically associated with the deformed Lagrangian obtained by contracting Euler--Lagrange equations of the original Lagrangian with (prolongations of) vertical parts of gauge-natural lifts of infinitesimal principal automorphisms lying in the kernel of the generalized gauge-natural Jacobi morphism.

연구 동기 및 목표

• 장 이론의 게이지-자연스러운 프레임워크로 노이터의 제2정리를 일반화하기.
• 무한소 자동형사의 게이지-자연스러운 상승에 대한 부분의 국소 섹션의 리 도함수를 사용하여 일반화된 게이지-자연스러운 자코비 사상을 정의하기.
• 보존 전류와 원래 라그랑지안의 오일러-라그랑지안 방정식 및 이러한 상승의 수직 부분으로 구성된 변형 라그랑지안 사이의 표준적 대응관계 수립하기.
• 유한계수 제트 연장에서의 변분법의 연속체에서 제2변분도가 보존 법칙 유도에 어떻게 기여하는지 규명하기.

제안 방법

• 무한소 주기계 자동형사의 게이지-자연스러운 상승의 수직 부분에 대한 제2변분도를 계산하며, 이는 게이지-자연스러운 불변 라그랑지안의 제2변분도이다.
• 제2변분도에 의해 유도되는 사상으로서 일반화된 게이지-자연스러운 자코비 사상을 정의하며, 이는 이러한 상승을 沿한 섹션의 리 도함수를 사용한다.
• 유한계수 제트 연장에서의 게이지-자연스러운 다발에 대한 유한계수 변분열 프레임워크를 활용하여 제2변분도의 구조와 오일러-라그랑지안 사상과의 관계를 분석한다.
• 제2노이터 정리를 적용하여 제2변분도를 일반화된 비앙키 사상과 연결하고, 관련된 보존 전류를 유도한다.
• 원래 라그랑지안 λ의 오일러-라그랑지안 방정식과 게이지-자연스러운 상승의 수직 부분을 수축하여 변형 라그랑지안 ω를 구성한다.
• 제2변분도의 동치류를 발산에 관하여 분석하며, 벡터장이 자코비 사상의 핵에 있을 경우 임계 섹션에서 이 값이 0이 됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 대칭이 없는 상황에서 게이지-자연스러운 불변 라그랑지안의 제2변분도는 어떻게 보존 법칙을 도출하는가?
• RQ2 유한계수 제트 다발의 맥락에서 일반화된 게이지-자연스러운 자코비 사상의 기하학적 및 대수적 구조는 어떠한가?
• RQ3 제2변분도가 언제 0이 되며, 이는 보존 전류의 존재에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ4 노이터의 제2정리는 게이지-자연스러운 장 이론으로 어떻게 일반화되며, 특히 일반화된 비앙키 항등식과의 관계는 어떠한가?
• RQ5 변분 이복합체 프레임워크에서 일반화된 대칭의 특성 방정식과 제2변분도 사이의 본질적인 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 원래 라그랑지안 λ의 오일러-라그랑지안 방정식과 무한소 주기계 자동형사의 게이지-자연스러운 상승의 수직 부분을 수축하여 얻은 변형 라그랑지안 ω와 공변적이고 강력하게 보존되는 전류 사이에 표준적인 연관성이 존재한다.
• 보존 전류는 정확히 해당 벡터장이 일반화된 게이지-자연스러운 자코비 사상의 핵에 있을 때만 나타나며, 이는 제2변분도가 0이 되도록 보장한다.
• 그러한 벡터장에 대한 라그랑지안 λ의 제2변분도는 발산에 관하여 동치이며, 제2변분도와 자코비 사상의 차이로 표현되며, 이 동치류는 임계 섹션에서 0이 된다.
• 일반화된 자코비 사상은 오일러-라그랑지안 사상 En(λ)의 수직 미분으로 특징지어지며, 제2변분도의 기하학적 해석을 제공한다.
• [15]에서 제시된 일반화된 대칭의 특성 방정식은, 발산에 관하여 제2변분도에서 자코비 사상을 뺀 것과 동치이며, 이는 임계 섹션에서 0이 된다.
• 자코비 사상의 핵에 속하는 벡터장에 沿한 라그랑지안의 리 도함수는 항상 전구분수이므로, 원래 라그랑지안 λ의 발산 대칭임을 의미한다.