[논문 리뷰] Sections of the Hodge bundle over Ekedahl-Oort strata of Shimura varieties of Hodge type

Jean-Stefan Koskivirta|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 06.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 11인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 히긴즈형 샤펠라 위에 있는 에케다르-오르트 분해의 각 분해에서 Hodge 번들의 거듭제곱에 대한 정규화된 영이 아닌 전역 섹션을 구성하며, 각 분해에서 Hodge 번들의 토르션 성질을 증명한다. 이는 에케다르-오르트 분해의 준아핀성과 프로젝티브 경우에서의 비어있지 않음에 대한 짧은 증명을 이끌어내며, 기존 결과를 복원하고 일반 히긴즈형 샤펠라 위로 이를 확장한다.

ABSTRACT

We construct canonical non-vanishing global sections of powers of the Hodge bundle on each Ekedahl-Oort stratum of a Hodge type Shimura variety. In particular we recover the quasi-affineness of the Ekedahl-Oort strata. In the projective case, this gives a very short proof of non-emptiness of Ekedahl-Oort strata. It follows that the Newton strata are also nonempty, by a result of S.Nie. We also deduce the fact that the $μ$-ordinary locus is determined by the Ekedahl-Oort strata of its image by any embedding.

연구 동기 및 목표

• 히긴즈형 샤펠라 위의 각 에케다르-오르트 분해에서 Hodge 번들의 거듭제곱에 대한 정규화된 영이 아닌 전역 섹션의 존재를 확립하는 것.
• 각 분해에서 Hodge 번지가 토르션임을 보여 이로 인해 에케다르-오르트 분해가 준아phin임을 증명하는 것.
• Hodge 번지의 강한 약화성과 귀납적 방법을 이용하여, 프로젝티브 경우에서의 에케다르-오르트 분해의 비어있지 않음을 짧게 증명하는 것.
• μ-일반성 영역이 p-토르션 군 스킴의 구조에 의해 결정되며, 다른 자료와는 독립적임을 보여주는 것.
• 에케다르-오르트 분해의 구조를 통해 뉴턴 분해의 비어있지 않음에 대한 결과를 일반 히긴즈형 샤펠라 위로 확장하는 것.

제안 방법

• 에케다르-오르트 분해를 섬세화하기 위해 G-zips 스택과 zip 사상 ζ: S_K → G-Zip^μ를 이용한다.
• G-zips의 몫 스택 위에서 선 번들의 Picard 군과 전역 섹션에 관한 일반 결과를 적용한다.
• 삽입을 통해 시겔 모듈라 다양체를 통해 올려받은 결과를 이용해 일반화된 하사 인바리언트를 각 분해에서 정규화된 전역 섹션으로 구성한다.
• 각 분해 S^w에서 ω_S가 토르션임을 보이기 위해 ω_S^⊗N_wd에서 영이 아닌 섹션이 존재함을 증명한다.
• O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd의 동형을 통해 각 분해의 준아핀성을 유도한다.
• zip 사상 ζ의 평탄성과 개방성, 그리고 차원을 귀납적으로 줄이는 방법을 적용하여, 프로젝티브 경우에서 분해의 비어있지 않음을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히긴즈형 샤펠라 위의 각 에케다르-오르트 분해에서 Hodge 번들의 거듭제곱에 대한 정규화된 영이 아닌 전역 섹션을 구성할 수 있는가?
• RQ2 이러한 섹션의 존재는 각 에케다르-오르트 분해가 준아phin임을 의미하는가?
• RQ3 이러한 구성 방법을 통해 프로젝티브 히긴즈형 샤펠라 위에서의 에케다르-오르트 분해의 비어있지 않음을 증명할 수 있는가?
• RQ4 히긴즈형 샤펠라 위의 μ-일반성 에케다르-오르트 분해는 p-토르션 군 스킴 A[p]의 동형류에 의해 완전히 결정되는가?
• RQ5 에케다르-오르트 분해의 준아핀성은 프로젝티브 히긴즈형 샤펠라 위에서의 뉴턴 분해의 비어있지 않음을 암시하는가?

주요 결과

• 공집합이 아닌 각 에케다르-오르트 분해 S^w에 대해, 모든 d ≥ 1에 대해 ω_S^⊗N_wd가 정규화된 영이 아닌 전역 섹션을 갖는 N_w ≥ 1 이 존재한다.
• 이러한 섹션의 존재는 각 분해에서 Hodge 번지가 토르션임을 의미하며, O_{S^w} ≅ ω_S^⊗N_wd의 동형을 유도한다.
• 이는 각 에케다르-오르트 분해가 준아phin임을 의미하며, 이전에 다른 방법으로 알려진 결과를 복원한다.
• 프로젝티브 경우에서 준아핀성과 귀납적 차원 감소 방법을 통해 슈퍼스페셜(차원 0) 에케다르-오르트 분해가 비어있음을 유도할 수 있으며, 이는 모든 분해가 비어있음을 의미한다.
• μ-일반성 분해 S^μ는 S^μ = ι⁻¹(S₀^μ)를 만족하며, 이는 그것이 극화 또는 수준 구조와는 무관하게 A[p]의 동형류에 의해 결정됨을 의미한다.
• S. 니의 결과에 의해, 에케다르-오르트 분해의 비어있음은 프로젝티브 히긴즈형 샤펠라 위에서의 뉴턴 분해의 비어있음을 암시한다.