[논문 리뷰] Segal topoi and stacks over Segal categories

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|2002. 12. 23.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 17인용 수 25

한 줄 요약

이 논문은 모델 범주 외의 방법으로 스택과 토포스의 호모토피 이론적 프레임워크를 개발한다. 세갈 카테고리의 맥락에서 세갈 토포스를 정의하고, 세갈 토포스의 2-세갈 카테고리와 기하학적 함자들을 구성하며, 기르로드 타입의 특성화를 증명하고, 단순화된 국소화를 통한 세갈 토포스와 모델 토포스 사이의 동치를 보여주어, 사이트에 대한 정교한 호모토피 유형 이론을 가능하게 하며 아르틴-마주르의 에탈 호모토피 이론을 확장한다.

ABSTRACT

In math.AG/0207028 we began the study of higher sheaf theory (i.e. stacks theory) on higher categories endowed with a suitable notion of topology: precisely, we defined the notions of S-site and of model site, and the associated categories of stacks on them. This led us to study a notion of extit{model topos} (orginally due to C. Rezk), a model category version of the notion of Grothendieck topos. In this paper we treat the analogous theory starting from (1-)Segal categories in place of S-categories and model categories. We introduce notions of Segal topologies, Segal sites and stacks over them. We define an abstract notion of Segal topos and relate it with Segal categories of stacks over Segal sites. We compare the notions of Segal topoi and of model topoi, showing that the two theories are equivalent in some sense. However, the existence of a nice Segal category of morphisms between Segal categories allows us to improve the treatment of topoi in this context. In particular we construct the 2-Segal category of Segal topoi and geometric morphisms, and we provide a Giraud-like statement characterizing Segal topoi among Segal categories. As an example of applications, we show how to reconstruct a topological space up to homotopy from the Segal topos of locally constant stacks on it, thus extending the main theorem of Toen, "Vers une interpretation Galoisienne de la theorie de l'homotopie" (to appear in Cahiers de top. et geom. diff. cat.) to the case of un-based spaces. We also give some hints of how to define homotopy types of Segal sites: this approach gives a new point of view and some improvements on the étale homotopy theory of schemes, and more generally on the theory of homotopy types of Grothendieck sites as defined by Artin and Mazur.

연구 동기 및 목표

• 세갈 카테고리를 모델 범주 외의 대안으로 사용하여 스택과 토포스의 고차 범주론적 프레임워크를 개발한다.
• 세갈 위상, 세갈 사이트, 그리고 그 위의 스택을 정의함으로써 세갈 토포스의 개념을 도출한다.
• 세갈 토포스와 기하학적 함자들의 2-세갈 카테고리를 구성하여, 내부 호모트로피 객체의 부재로 인한 모델 토포스 이론의 한계를 극복한다.
• 단순화된 국소화를 통한 세갈 토포스와 모델 토포스 사이의 동치를 확립함으로써 두 고차 토포스 이론 접근법을 통합한다.
• 아르틴-마주르의 에탈 호모토피 이론을 일반화하기 위해 세갈 사이트의 프로-호모토피 유형을 정의하며, 구리스펙트에의 응용을 포함한다.

제안 방법

• 세갈 카테고리 T에 대한 세갈 위상을, 그 호모토피 카테고리 Ho(T) 위의 그로텐디크 위상으로 정의한다.
• 세갈 사이트 (T,τ) 위의 전스택의 세갈 카테고리를 단순 복합체의 전층의 세갈 카테고리로 구성한다.
• 세갈 토포스를 전스택 카테고리의 정확한 국소화로 정의하며, 스택들이 극한과 내림내림을 보존하는 전부의 부분세갈 카테고리가 되도록 한다.
• 세갈 카테고리 간의 사상의 세갈 카테고리의 존재를 활용하여 기하학적 함자를 쌍대 기저 쌍으로서 정의하고, 세갈 토포스의 2-세갈 카테고리를 형성한다.
• 모델 범주 M의 단순화된 국소화 LM이 전스택의 세갈 토포스와 국소화된 모델 범주의 전스택 사이의 동치를 유도함을 증명한다.
• 세갈 토포스의 프로-호모토피 유형을 왼쪽 필터링된 세갈 카테고리 위의 코일리미트로 정의하여 아르틴-마주르의 프로-객체 구성법을 일반화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 세갈 카테고리의 맥락에서 모델 범주의 한계를 극복하기 위해 스택과 토포스는 어떻게 재정의될 수 있는가?
• RQ2 세갈 토포스와 기하학적 함자들의 2-세갈 카테고리의 구조는 어떠한가? 그리고 전통적 토포스의 2-범주와 비교해보면 어떻게 되는가?
• RQ3 세갈 토포스의 프로-호모토피 유형은 어떻게 구성될 수 있으며, 아르틴-마주르의 에탈 호모토피 유형을 어떻게 정교화하는가?
• RQ4 세갈 토포스는 특정 정확성 및 완비성 조건을 만족하는 카테고리로 기르로드 타입의 특성화를 갖는가?
• RQ5 구리스펙트의 소형 에탈 세갈 토포스의 에탈 호모토피 유형은 무엇이며, 크로마틱 호모토피 이론과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 세갈 토포스는 전스택의 세갈 카테고리의 정확한 국소화로 정의되며, 모든 t-완비 세갈 토포스는 세갈 사이트 위의 스택의 카테고리로 나타난다.
• 모델 범주의 전스택의 단순화된 국소화와 세갈 토포스의 전스택 사이에 자연스러운 동치가 존재함을 보여주며, 이는 모델 토포스 이론과 세갈 토포스 이론 간의 동치를 보여준다.
• 세갈 카테고리 내부의 호모트로피 객체를 활용하여 세갈 토포스의 2-세갈 카테고리를 구성함으로써 기하학적 함자 이론의 일관성을 확보한다.
• 기르로드 타입 정리의 제안을 통해 세갈 토포스를 전스택 카테고리의 정확한 국소화이자 특정 코일리미트 및 동치 조건을 만족하는 세갈 카테고리로 특성화한다.
• 세갈 토포스의 프로-호모토피 유형은 왼쪽 필터링된 세갈 카테고리 위의 코일리미트로 정의되며, 아르틴-마주르의 구성법을 일반화하고, 모르라 바 K-이론을 통해 크로마틱 데이터를 포착할 수 있다.
• 구리스펙트의 에탈 세갈 토포스의 프로-호모토피 유형은 K(n) 및 E(n) 이론과 관련된 정보를 암시적으로 담고 있을 것으로 추측되며, 이는 에탈 호모토피 이론의 크로마틱 정교화를 시사한다.