[논문 리뷰] Seidel switching for weighted multi-digraphs and its quantum perspective

Supriyo Dutta, Bibhas Adhikari외 1명|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 28.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 가중치가 부여된 다중 방향 그래프로 Seidel 스위칭을 일반화하며, 이를 유니타리 연산으로서 구현하여 동일한 스펙트럼을 가진 공스펙트럴 라플라시안 및 부호 없는 라플라시안 행렬을 생성함으로써 동일한 스펙트럼을 가진 밀도 행렬을 생성함을 보여준다. 주요 기여는 Seidel 스위칭에 대한 양자역학적 해석을 수립하여, 이가 CNOT 게이트(순서 4)에서 최대 얽힘 생성 능력을 가진 전역 유니타리 연산으로 작용함을 보이며, 행렬 순서가 증가함에 따라 얽힘 강도가 지수적으로 감소함을 밝혀낸 데 있다.

ABSTRACT

Construction of graphs with equal eigenvalues (co-spectral graphs) is an interesting problem in spectral graph theory. Seidel switching is a well-known method for generating co-spectral graphs. From a matrix theoretic point of view, Seidel switching is a combined action of a number of unitary operations on graphs. Recent works [1] and [2] have shown significant connections between graph and quantum information theories. Corresponding to Laplacian matrices of any graph there are quantum states useful in quantum computing. From this point of view, graph theoretical problems are meaningful in the context of quantum information. This work describes Seidel switching from a quantum perspective. Here, we generalize Seidel switching to weighted directed graphs. We use it to construct graphs with equal Laplacian and signless Laplacian spectra and consider density matrices corresponding to them. Hence Seidel switching is a technique to generate cospectral density matrices. Next, we show that all the unitary operators used in Seidel switching are global unitary operators. Global unitary operators can be used to generate entanglement, a benchmark phenomena in quantum information processing.

연구 동기 및 목표

• 가중치가 부여된 다중 간선 및 순환을 포함한 방향 그래프로 Seidel 스위칭을 확장한다.
• Seidel 스위칭이 라플라시안 및 부호 없는 라플라시안 행렬 하에서 공스펙트럴 그래프를 생성함을 보여준다.
• Seidel 스위칭에 대한 양자역학적 해석을 수립하여 이를 전역 유니타리 연산으로서 정의한다.
• Seidel 연산자가 갖는 얽힘 생성 능력을 분석하고 양자 정보 처리와 연관지킨다.
• 공스펙트럴 밀도 행렬이 양자 상태 구별 가능성 및 얽힘 정련에 미치는 영향을 탐색한다.

제안 방법

• 실수 가중치와 순환을 갖는 인접 행렬을 사용하여 가중치가 부여된 다중 방향 그래프로 Seidel 스위칭을 일반화한다.
• 라플라시안 및 부호 없는 라플라시안 행렬을 각각 L(G) = D(G) - A(G) 및 Q(G) = D(G) + A(G)로 정의한다.
• 이 행렬들로부터 밀도 행렬 ρₗ(G) = L(G)/trace(L(G)) 및 ρq(G) = Q(G)/trace(Q(G))를 구성한다.
• Seidel 스위칭을 그래프 상태 전체에 작용하는 유니타리 연산의 조합으로 표현한다.
• 유도된 유니타리 연산자에 대한 슈미트 강도 K_Sch 및 WZ 얽힘 측도 K_WZ를 분석한다.
• 특히 CNOT 게이트(순서 4)에 초점을 맞추어 다양한 순서의 Seidel 연산자 간의 얽힘 생성 능력을 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Seidel 스위칭은 순환 및 다중 방향 간선을 갖는 가중치가 부여된 다중 방향 그래프로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 Seidel 스위칭은 라플라시안 및 부호 없는 라플라시안 행렬 하에서 어떻게 공스펙트럴 그래프를 생성하는가?
• RQ3 Seidel 스위칭을 양자역학적 유니타리 변환으로서 어떻게 해석할 수 있는가?
• RQ4 Seidel 연산자의 얽힘 생성 능력은 무엇이며, 행렬 순서와 어떻게 스케일링되는가?
• RQ5 Seidel 스위칭을 사용하여 분리된 초기 상태에서 최대 얽힘 상태를 생성할 수 있는가?

주요 결과

• 가중치가 부여된 다중 방향 그래프에서 Seidel 스위칭은 라플라시안 및 부호 없는 라플라시안 행렬 하에서 공스펙트럴 그래프를 생성한다.
• Seidel 스위칭을 뒷받침하는 유니타리 연산은 국소가 아니라 전체 시스템에 작용하는 전역 연산이다.
• CNOT 게이트는 순서 4인 Seidel 연산자에 해당하며, 최대 슈미트 강도 K_Sch = 1 및 최대 얽힘 생성 능력을 달성한다.
• Seidel 연산자의 순서가 증가함에 따라 얽힘 강도 K_Sch는 지수적으로 감소한다.
• WZ 얽힘 측도 K_WZ는 K_Sch의 약 절반 수준으로 스케일링되며, 일관된 얽힘 경향을 확인한다.
• 슈미트 강도 K_Sch는 얽힘 생성 능력 K_E(U)의 하한으로서 기능하며, 이는 행렬 순서 증가에 따른 얽힘의 지수 감쇠를 뒷받침한다.