[논문 리뷰] Seismic Imaging and Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 14.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 전파형상역산(Full Waveform Inversion, FWI)에서 전통적인 $L^2$-노름 방법에 내재된 국소 최소값 문제를 극복하기 위해 이차 Wasserstein 거리($W_2$)를 오차 함수로 사용하는 것을 제안한다. 최적 운반 이론을 활용하고 몽주-암페르 방정식을 수치적으로 해결함으로써 $W_2$는 더 나은 볼록성과 노이즈에 대한 강건성을 제공하여, 매우 왜곡된 초기 모델에서도 정확한 역산을 가능하게 한다. 2차원 합성 Marmousi 및 다층 모델에서의 실험을 통해 트레이스별 $W_2$ 계산 방식이 $L^2$보다 수렴성과 아티팩트 억제 측면에서 뛰어나다는 것이 입증되었다.

ABSTRACT

Seismology has been an active science for a long time. It changed character about 50 years ago when the earth's vibrations could be measured on the surface more accurately and more frequently in space and time. The full wave field could be determined, and partial differential equations (PDE) started to be used in the inverse process of finding properties of the interior of the earth. We will briefly review earlier techniques but mainly focus on Full Waveform Inversion (FWI) for the acoustic formulation. FWI is a PDE constrained optimization in which the variable velocity in a forward wave equation is adjusted such that the solution matches measured data on the surface. The minimization of the mismatch is usually coupled with the adjoint state method, which also includes the solution to an adjoint wave equation. The least-squares norm is the conventional objective function measuring the difference between simulated and measured data, but it often results in the minimization trapped in local minima. One way to mitigate this is by selecting another misfit function with better convexity properties. Here we propose using the quadratic Wasserstein metric as a new misfit function in FWI. The optimal map defining the quadratic Wasserstein metric can be computed by solving a Monge-Ampere equation. Theorems pointing to the advantages of using optimal transport over the least-squares norm will be discussed, and a number of large-scale computational examples will be presented.

연구 동기 및 목표

• 기존의 $L^2$ 오차 함수를 사용할 경우 지속적으로 발생하는 전파형상역산(FWI)의 국소 최소값 문제를 해결하기 위해.
• 표준 $L^2$ 노름 대신 이차 Wasserstein 거리($W_2$)를 도입하여 FWI의 볼록성과 강건성을 향상시키기 위해.
• 지반 탐사 응용 분야에서 몽주-암페르 방정식을 통한 $W_2$ 계산을 위한 수치적 방법을 개발하고 검증하기 위해.
• 노이즈가 많고 매우 왜곡된 초기 데이터로부터 정확한 지하 속도 모델을 복원하는 데서 $W_2$의 효과성을 입증하기 위해.
• 수렴 속도, 아티팩트 억제 및 노이즈에 대한 민감도 측면에서 트레이스별 $W_2$와 전역 $W_2$, $L^2$ 간의 성능을 비교하기 위해.

제안 방법

• 전통적인 $L^2$ 노름 대신 전파형상역산(FWI)에 이차 Wasserstein 거리($W_2$)를 새로운 오차 함수로 제안한다.
• Monge-Ampère 방정식을 사용하여 $W_2$를 정의하는 최적 운반 지도를 계산하고, 인접 상태 방법을 통해 기울기 계산을 가능하게 한다.
• 각 FWI 반복 단계에서 몽주-암페르 방정식의 해를 수치적으로 근사하기 위해 유한 차분 해법을 적용한다.
• 각 수신 트레이스별로 정확한 1차원 최적 운반 해를 사용하여 독립적으로 $W_2$를 계산하는 트레이스별 $W_2$ 접근 방식을 도입한다.
• 모델 갱신을 위해 L-BFGS 최적화 알고리즘을 사용하고, $W_2$ 기울기에서 유도된 인접 소스를 활용한다.
• 특히 고차원에서의 수치적 안정성을 확보하기 위해 몽주-암페르 방정식의 해법에 적합한 데이터 필터링을 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 $L^2$ 노름에 비해 $W_2$ 거리가 FWI에서 국소 최소값에 수렴할 가능성을 현저히 줄일 수 있는가?
• RQ2 2차원 지반 탐사 모델에서 전역 $W_2$와 트레이스별 $W_2$ 근사치의 계산 비용과 정확도는 어떻게 비교되는가?
• RQ3 특히 신호 대 잡음비가 낮을 경우, $W_2$는 지반 데이터의 노이즈에 대해 얼마나 강건한가?
• RQ4 진짜 해에서 매우 떨어진 매우 왜곡된 속도 모델로 초기화했을 때, $W_2$ 기반 FWI는 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 실제 FWI 응용에서 몽주-암페르 방정식의 수치적 해법에 있어 데이터 정규화의 영향은 무엇인가?

주요 결과

• $W_2$ 기반 FWI는 국소 최소값을 효과적으로 피하고, 매우 왜곡된 초기 모델에서조차 아티팩트 없는 정확한 역산 결과를 도출한다. 반면 $L^2$는 고주파 아티팩트를 유발한다.
• 트레이스별 $W_2$는 단 20회의 반복만에 상대 오차를 0.1로 줄였고, $L^2$는 느리게 국소 최소값으로 수렴하면서 지속적인 아티팩트를 동반한다.
• $W_2$ 거리는 노이즈에 민감하지 않다. 신호 대 잡음비가 -3.47 dB임에도 불구하고, 진짜 Marmousi 모델의 대부분의 특징을 회복할 수 있었다.
• 전역 $W_2$ 계산은 정규화된 데이터와 몽주-암페르 해법의 수치적 안정성 요구로 인해 제한을 받으며, 실세계 응용에 있어서 트레이스별 접근 방식이 더 실용적이다.
• $W_2$의 인접 소스는 몽주-암페르 방정식의 해에서 유도되며, 데이터 차이에 비국소적이고 비선형적인 변환을 포함한다.
• 수치적 결과는 $L^2$에 비해 $W_2$가 더 우수한 볼록성 성질을 제공함을 보여주며, 전파형상역산에서 더 빠르고 신뢰할 수 있는 수렴을 가능하게 한다.