[논문 리뷰] Seismic Inversion and the Data Normalization for Optimal Transport

Björn Engquist, Yunan Yang|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 19.

Seismic Imaging and Inversion Techniques참고 문헌 20인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 최적 운반 기반 전파형 역산(FWI)에서의 핵심 모순을 해결하기 위해 선형 및 지수 스케일링을 조합한 신호에 민감한 정규화 기법을 제안함으로써, 강건하고 볼록인 오차 계산을 가능하게 한다. 이 방법은 신호 구조를 유지하면서도 최적 운반 조건을 충족시켜, 이론적으로 이상적이지만 실용적이지 않은 정규화와 경험적으로 효과적이지만 볼록이 아닌 대안보다 대규모 지구물리 이미징 테스트에서 뛰어난 역산 성능을 달성한다.

ABSTRACT

Full waveform inversion (FWI) has recently become a favorite technique for the inverse problem of finding properties in the earth from measurements of vibrations of seismic waves on the surface. Mathematically, FWI is PDE constrained optimization where model parameters in a wave equation are adjusted such that the misfit between the computed and the measured dataset is minimized. In a sequence of papers, we have shown that the quadratic Wasserstein distance from optimal transport is to prefer as misfit functional over the standard $L^2$ norm. Datasets need however first to be normalized since seismic signals do not satisfy the requirements of optimal transport. There has been a puzzling contradiction in the results. Normalization methods that satisfy theorems pointing to ideal properties for FWI have not performed well in practical computations, and other scaling methods that do not satisfy these theorems have performed much better in practice. In this paper, we will shed light on this issue and resolve this contradiction.

연구 동기 및 목표

• 최적 운반 FWI를 위한 이론적으로 최적의 정규화 방법과 그들의 열악한 실용적 성능 사이의 모순을 해결하기 위해.
• 핵심 수학적 성질(예: 볼록성, 미분 가능성)을 충족하면서도 실제 지구물리 데이터셋에서 잘 작동하는 데이터 정규화 기법을 개발하기 위해.
• 최적 운반 기반 FWI에서 선형 스케일링(실제로 효과적이지만 볼록성이 없음)과 이차/지수 스케일링(이론적으로 바람직하지만 불안정함) 사이의 격차를 메우기 위해.
• 적절한 신호 변환을 통해 확률 측도로 변환함으로써, $W_2$ 거리 기반 안정적이고 고해상도 지구물리 역산을 가능하게 하기 위해.

제안 방법

• 신호에 민감한 새로운 정규화 기법 제안: $\tilde{f}(t) = \begin{cases} (f(t)+\frac{1}{c})/b, & f(t) \geq 0 \\ \frac{1}{c}\exp(cf(t))/b, & f(t) < 0 \end{cases}$, 여기서 $b$ 는 단위 질량으로 정규화하기 위한 요소.
• 합성 및 관측 지구물리 트레이스 간의 $W_2$ 거리를 계산하기 위해 트레이스별 1차원 최적 운반을 사용.
• 새로운 정규화의 $C^1$ 미분 가능성에 기반해 안정적인 역전파를 위한 어드조인-스테이트 방법을 적용.
• 양성 및 음성 신호 성분의 정보를 모두 유지하기 위해 복합 목적함수 $J_4(m) = W_2^2(P(f), P(g)) + W_2^2(P(-f), P(-g))$ 를 도입.
• 선형과 지수 행동 간 전환을 제어하기 위해 $c > 0$ 의 파라미터를 사용하며, 데이터 범위에 따라 캘리브레이션됨.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 증명 가능한 이론적 우수성(예: 볼록성)을 지닌 정규화 방법은 실무 FWI에서 실패하는가? 반면 이론적 결함이 있는 다른 방법들은 더 잘 작동하는가?
• RQ2 선형 스케일링의 볼록성와 지수 스케일링의 강건성을 결합한 정규화를 설계할 수 있는가? 최적 운반 FWI를 위해.
• RQ3 정규화의 선택이 신호 이동에 대한 $W_2$ 오차 기능의 볼록성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 전파형 역산에서 음성 신호 성분을 유지하는 것이 정확도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 제안된 신호에 민감한 정규화는 $C^1$ 미분 가능성을 확보하여 FWI에서 안정적인 어드조인-스테이트 기반 기울기 계산을 가능하게 한다.
• 수치 실험 결과, 새로운 정규화는 신호 이동에 대한 $W_2$ 오차 기능의 볼록성을 유지함을 확인하였으며, 그 결과는 그림 10으로 확인됨.
• Marmousi 모델 테스트에서, 새로운 정규화를 사용한 $W_2$(식 24)는 세밀한 구조를 성공적으로 복원하였고, 반면 $L^2$ 역산은 비현실적인 고주파 잡음 성분을 생성함.
• 선형 스케일링은 합리적인 모델로 수렴함(그림 8a), 반면 제곱 기반 정규화는 국소 최적점에 갇힘(그림 8b)을 보이며, 새로운 방법의 실용적 우수성을 입증함.
• 새로운 정규화는 중재 기법으로서 작용함: 작은 $c$ 값에서는 선형 스케일링과 유사하게 행동하며, 큰 $c$ 값에서는 양성 성분 정규화에 수렴함으로써 신호 역학을 유지함.