[논문 리뷰] Selection and improvement of product formulae for best performance of quantum simulation

Mauro E. S. Morales, Pedro C. S. Costa외 4명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 28.

Fractal and DNA sequence analysis인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 요시다의 방법을 확장하여 양자 해밀토니안 시뮬레이션을 위한 10차 제품 공식을 구성하고, 오차가 크게 감소한 8차 및 10차 공식을 600개 이상 발견하였다. 8차 공식 중 하나는 요시다의 최고 성능 공식보다 1,000배 이상 정확도가 높으며, 실질적으로 요시다 및 수지의 방법보다 뛰어나며, 특히 $T/\epsilon \sim 10^8$ 수준이 일반적인 양자화학 응용 분야에서 뛰어난 성능을 발휘한다.

ABSTRACT

Quantum algorithms for simulation of Hamiltonian evolution are often based on product formulae. The fractal methods give a systematic way to find arbitrarily high-order product formulae, but result in a large number of exponentials. On the other hand, product formulae with fewer exponentials can be found by numerical solution of simultaneous nonlinear equations. It is also possible to reduce the cost of long-time simulations by processing, where a kernel is repeated and a processor need only be applied at the beginning and end of the simulation. In this work, we found thousands of new product formulae, and numerically tested these formulae, together with many formulae from prior literature. We provide methods to fairly compare product formulae of different lengths and different orders. For the case of 8th order, we have found new product formulae with exceptional performance, about two orders of magnitude better accuracy than prior work, both in the processed and non-processed cases. The processed product formula provides the best performance due to being shorter than the non-processed product formula. It outperforms all other tested product formulae over a range of many orders of magnitude in system parameters $T$ (time) and $ε$ (allowable error). That includes reasonable combinations of parameters to be used in quantum algorithms, where the size of the simulation is large enough to be classically intractable, but not so large it takes an impractically long time on a quantum computer.

연구 동기 및 목표

• 8차 이상의 고차 제품 공식을 구성하기 위해 요시다의 방법을 10차까지 체계적으로 확장하는 것.
• 최소한의 지수항 수를 가진 8차 및 10차 제품 공식을 식별하고 오차를 최소화하는 것.
• 오차 스케일링 기반으로 서로 다른 차수와 항 수를 가진 제품 공식을 체계적으로 비교하기 위한 방법을 개발하는 것.
• 스즈끼의 프랙탈 방법과 요시다의 해법과 같은 기존 방법과 비교하여 신규 공식의 실질적 성능을 평가하는 것.
• 양자화학 시뮬레이션에서 고차 공식이 실질적인 이점을 제공하는 임계값 $T/\epsilon$ 를 규명하는 것.

제안 방법

• 자유 매개변수에 대한 비선형 다항방정식의 연립계를 유도하고 해를 구함으로써 요시다의 앤투츠 기반 접근을 10차까지 확장한다.
• 제품 공식을 유도하기 위한 새로운 테일러 급수 전개 방법을 도입하여 요시다의 다항식 접근 방식의 대안을 제공한다.
• 수치 해법기를 사용하여 다항식 연립계의 해를 구하고, 수백 개의 새로운 8차 및 10차 공식을 식별한다.
• 다른 차수와 항 수를 가진 공식을 비교하기 위해 정규화된 오차 지표 $\chi$ 를 사용하며, 오차 스케일링과 지수항 수를 모두 고려한다.
• 10,000개의 랜덤 해밀토니안에 대한 시뮬레이션을 기반으로 $\chi$-기반 비교를 통해 성능 우월성의 임계값 $T/\epsilon$ 를 추정한다.
• 오차 스케일링을 공식 간 비교하고 스즈끼의 프랙탈 방법 및 요시다의 알려진 해법과의 벤치마킹을 통해 결과를 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 요시다의 방법을 체계적으로 10차 제품 공식을 구성할 수 있는지, 최소한의 지수항 수를 가진 채로 확장할 수 있는가?
• RQ2 8차 제품 공식에서 달성 가능한 최소 오차는 얼마이며, 요시다의 기존 해법과 비교해 볼 때 어떻게 되는가?
• RQ3 실제로 8차 공식이 6차 또는 4차 공식을 능가하는 $T/\epsilon$ 값은 얼마인가?
• RQ4 지수항 수를 고려할 때 신규 10차 공식의 성능은 기존 방법과 비교해 어떻게 되는가?
• RQ5 양자화학 시뮬레이션에서 10차 공식이 8차 공식을 능가하는 데 실질적인 이점을 제공하는 임계값 $T/\epsilon$ 는 얼마인가?

주요 결과

• 저자들은 요시다의 최고 성능 8차 해법보다 오차가 1,000배 이상 낮은 8차 공식을 포함해 600개 이상의 새로운 8차 제품 공식을 발견하였다.
• 최소한의 항 수를 가진 10차 제품 공식이 구성되었으며, 이는 요시다의 방법을 8차를 초월해 확장한 것이다.
• 발견된 최고의 8차 공식은 $\chi$ 값이 $5.7 \times 10^{-7}$ 로, $T/\epsilon \sim 1600$ 에서 저차수 공식을 능가함을 시사하며, 이는 일반적인 양자화학 응용 분야의 값($T/\epsilon \sim 10^8$)보다 훨씬 낮은 수준이다.
• 10차 공식이 8차 공식을 능가하는 임계값은 $T/\epsilon \sim 6.4 \times 10^{11}$ 로 추정되었으며, 이는 일반적인 양자화학 시뮬레이션에서 예상되는 값($T/\epsilon \sim 10^8$)보다 훨씬 높다.
• 양자화학 응용 분야에서 $T/\epsilon \sim 10^8$ 인 경우, 새로운 8차 공식이 최적일 것으로 예상되며, 6차 공식은 성능이 열악하고 10차 공식은 실질적인 이점을 제공하지 못한다.
• 최소 항 수를 초과하는 공식(예: $m=16$)은 오차를 100배 더 줄여 요시다의 8차 공식 대비 1,000배 향상된 성능을 달성한다.