[논문 리뷰] Selection of measures for a potential with two maxima at the zero temperature limit

Alexandre Baraviera, Renaud Leplaideur외 1명|arXiv (Cornell University)|2010. 04. 16.

Quantum chaos and dynamical systems참고 문헌 19인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 세 기호로 구성된 유한 유형의 하위시프트에서 호일러 연속 잠재력에 대한 급격한 측도의 영온도 극한을 조사한다. 이 잠재력은 두 개의 최대화 측도를 가지며, 각각 고정점 0^∞ 및 1^∞에서의 Dirac 측도이다. 잠재력이 0^∞에서 더 평탄함에도 불구하고, 연구는 급격한 측도가 항상 더 평탄한 점의 Dirac 측도로 수렴하지 않음을 보여주며, 대신 두 측도의 볼록 조합을 선택할 수 있으며, 이 선택 행동은 잠재력 매개수 α에 대해 비연속적이고 비단조적임을 밝힌다.

ABSTRACT

For the subshift of finite type $§=\{0,1,2\}^{\N}$ we study the convergence at temperature zero of the Gibbs measure associated to a non-locally constant Hölder potential which admits only two maximizing measures. These measures are Dirac measures at two different fixed points. The potential is flattest at one of these two fixed points. The question we are interested is: which of these probabilities the invariant Gibbs state will select when temperature goes to zero? We prove that on the one hand the Gibbs measure converges, and at the other hand it does not necessarily converge to the measures where the potential is the flattest. We consider a family of potentials of the above form; for some of them there is the selection of a convex combination of the two Dirac measures, and for others there is a selection of the Dirac measure associated to the flattest point. In the first case this is contrary to what was expected if we consider the analogous problem in Aubry-Mather theory by N. Anantharaman, R. Iturriaga, P. Padilla and H. Sanchez-Morgado. The invariant probability is obtained by the junction of the eigen-function and the eigen-probability. A curious phenomena that happens in our examples is that the eigen-measure and the eigen-function have opposite behavior. When $β o \infty$, the eigen-measure became exponential bigger around $0^\infty$, when compared to points around $1^\infty$. For the eigen-function the opposite happens.

연구 동기 및 목표

• 세 기호 하위시프트에서 국소적으로 일정하지 않은 호일러 연속 잠재력에 대해 급격한 측도의 영온도 극한을 분석하는 것.
• 아브리-메이어 이론이 제안하는 것처럼, 잠재력이 가장 평탄한 점에서의 측도로 선택이 항상 이루어지는지 여부를 확인하는 것.
• 다중 최대화 측도가 존재할 경우의 수렴 행동과 그 한계 측도의 성격을 조사하는 것.
• 잠재력의 곡률과 매개수 α가 선택 결과에 미치는 영향을 탐구하는 것.
• 수렴이 보장되지 않으며, 선택 과정이 비연속적이고 비트ivial한 형태를 띌 수 있음을 보여주는 것.

제안 방법

• 완전한 시프트 Σ = {0,1,2}^ℕ에서 정의된 호일러 잠재력 A(x)를 설정하며, 0^∞ 및 1^∞ 주변의 실린더에서 서로 다른 값을 가지며, 나머진 일정하다.
• 전이 연산자를 사용하여 βA에 대응하는 급격한 측도 μ_β를 구성하며, β → ∞는 영온도에 해당한다.
• 고유함수 값의 비율 H(0^∞)/H(1^∞)의 점근적 행동을 급수 전개와 尾 추정을 통해 분석한다.
• 실린더 확률의 비율 μ([0])/μ([1])을 유한 실린더 기여와 고유함수-고유측도 이중성의 분해를 통해 추정한다.
• 기술적 보조정리를 적용하여 유한 실린더 기여의 상대적 기여를 통제하며, 비율 μ([0])/μ([1])이 점근적으로 e^β × H(0^∞)/H(1^∞)에 의해 지배됨을 보여준다.
• 압력과 고유함수 尾의 점근적 분석을 통해 β → ∞일 때 급격한 측도의 수렴 행동을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 영온도에서 급격한 측도가 항상 잠재력이 가장 평탄한 점에서 Dirac 측도로 수렴하는가?
• RQ2 다중 최대화 측도가 존재할 경우, 한계 불변 측도의 선택은 무엇에 의해 결정되는가?
• RQ3 잠재력의 매개수 α는 급격한 측도의 수렴 행동에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 잠재력 최대값 중 하나가 더 평탄함에도 불구하고, 한계 측도가 두 Dirac 측도의 비트ivial한 볼록 조합일 수 있는가?
• RQ5 선택 과정은 잠재력 매개수에 대해 연속적인가, 아니면 비연속성이 발생할 수 있는가?

주요 결과

• α < 1일 경우, 비율 H(0^∞)/H(1^∞)는 β에 대해 지수적으로 증가하므로, 급격한 측도는 δ_{0^∞}와 δ_{1^∞}의 볼록 조합을 선택하며, 이는 0^∞를 우선시한다.
• α = 1일 경우, e^β × H(0^∞)/H(1^∞)의 극한은 황금비율 (1+√5)/2이며, 이는 0^∞를 우선시하는 비트ivial한 선택을 나타낸다.
• α > 1일 경우, 비율 H(0^∞)/H(1^∞)는 1로 수렴하므로, 급격한 측도는 두 Dirac 측도의 균형 잡힌 볼록 조합으로 수렴한다.
• 선택은 α = 1에서 비연속적이다. 극한 비율은 α < 1일 때 ∞에서 시작하여, α = 1일 때 (1+√5)/2로 점프하고, α > 1일 때 1로 수렴한다.
• 고유측도와 고유함수는 반대 행동을 보인다: 고유측도는 β → ∞일 때 점점 0^∞에 집중되지만, 고유함수는 1^∞를 선호한다. 이는 분석에서 정교한 제어가 필요하다.
• 급격한 측도의 수렴은 일반적으로 보장되지 않으며, 심지어 존재할 경우에도 한계는 비트ivial한 볼록 조합일 수 있어, 아브리-메이어 이론의 기대와 정면으로 배치된다.