[논문 리뷰] Selective Quantum State Tomography

Joshua Morris, Borivoje Dakić|arXiv (Cornell University)|2019. 09. 12.

Quantum Information and Cryptography참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 고정된, 차원에 의존하지 않는 상태 복사 수로 미지의 양자 상태의 임의의 요소를 추정할 수 있는 선택적 양자 상태 톰그래피(SQST)를 소개한다. 상호 완전기저(MUBs)와 Hoeffding의 부등식을 활용함으로써, 오차 $ \theta $에 대해 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $의 복사 수를 확보하여 기존의 톰그래피에 비해 메모리, 계산 및 측정 오버헤드를 크게 감소시킨다.

ABSTRACT

We introduce the concept of selective quantum state tomography or SQST, a tomographic scheme that enables a user to estimate arbitrary elements of an unknown quantum state using a fixed measurement record. We demonstrate how this may be done with the following notable advantages (i) a number of state copies that depends only on the desired precision of the estimation, rather than the dimension of the unknown state; (ii) a similar reduction in the requisite classical memory and computational cost; (iii) an approach to state tomography using $O(ε^{-2}\log d)$ state copies for maximum norm error $ε$, as well as achieving nearly optimal bounds for full tomography with independent measurements. As an immediate extension to this technique we proceed to show that SQST can be used to generate an universal data sample, of fixed and dimension independent size, from which one can extract the mean values from a continuous class of operators on demand.

연구 동기 및 목표

• 힐베르트 공간 차원에 따라 지수적으로 증가하는 표준 양자 상태 톰그래피의 스케일링 문제를 해결하여 대규모 양자 시스템의 특성 분석을 가능하게 한다.
• 후처리 단계에서 $ d^2 $차원의 밀도 행렬을 저장하고 처리하는 데 발생하는 고전적 계산 및 메모리 부담을 완화한다.
• 전체 상태 재구성 없이도 개별 행렬 요소나 연산자의 평균값을 직접적으로 선택적으로 추정할 수 있도록 한다.
• 독립 측정을 사용할 때 전체 톰그래피의 거의 최적의 샘플 복잡도를 달성하면서도 차원에 의존하지 않는 자원 스케일링을 유지한다.
• 연속적인 유계 연산자 클래스의 평균값을 필요에 따라 추출할 수 있는 고정 크기의 보편적 데이터 샘플이 존재함을 보여준다.

제안 방법

• 상호 완전기저(MUBs)를 활용하여 $ d(d+1) $개의 원소를 가진 POVM을 정의함으로써, 밀도 행렬 요소의 효율적이고 편향 없는 추정을 가능하게 한다.
• 각 상태 복사가 무작위로 선택된 MUB 기저에서 측정되는 랜덤라이즈드 측정 프로토콜을 적용하며, 결과를 경험적 평균을 통해 행렬 요소를 추정한다.
• Hoeffding의 부등식을 적용하여 행렬 요소의 추정 오차를 한계화함으로써, 오차 $ \theta $에 대해 샘플 복잡도가 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $로 시스템 차원 $ d $에 관계없이 유지됨을 도출한다.
• 유계 연산자 $ A $의 평균값을 추정하기 위해 MUB 기저에서 분해된 계수 $ a_{km} $를 제어된 오차로 추정함으로써 방법을 일반화한다.
• 프로베니우스 노름과 조건 $ |a_{km}| \to K $를 활용하며, $ K = O(1/d) $일 경우 복사 수가 유계 연산자에 대해 차원에 의존하지 않음을 보장한다.
• 복수의 연산자 $ M $에 대한 동시 추정을 위해 샘플 복잡도에 $ \text{log} M $ 요소를 포함함으로써 차원 독립성을 유지한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐베르트 공간 차원 $ d $에 관계없이, 원하는 정확도를 유지하면서 상태 톰그래피를 수행할 수 있는가?
• RQ2 전체 상태를 재구성하거나 $ d^2 $차원 행렬을 저장하지 않고도, 미지의 밀도 행렬의 개별 요소를 추정할 수 있는가?
• RQ3 고정 크기의 측정 기록을 사용하여 연속적인 유계 연산자 클래스의 평균값을 필요에 따라 추출할 수 있는가?
• RQ4 독립 측정만을 사용할 때 전체 상태 톰그래피의 최적 샘플 복잡도는 무엇이며, 선택적 방법으로 이를 접근할 수 있는가?
• RQ5 제안된 방법은 연속 변수 시스템에서 흔히 볼 수 있는 에너지에 의존하는 오차 스케일링을 피할 수 있는가? 만약 그렇다면 그 이유는 무엇인가?

주요 결과

• SQST는 오차 $ \theta $로 개별 밀도 행렬 요소를 추정할 때 시스템 차원 $ d $에 관계없이 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $의 샘플 복잡도를 달성한다.
• 이 방법은 독립 측정을 사용할 때 거의 최적의 전체 톰그래피를 가능하게 하며, 이론적 하한선에 로그 요소를 제외하고는 정확히 일치한다.
• 유계 연산자 $ A $의 평균값을 추정할 경우 필요한 복사 수는 $ O(K^2 d^2 \theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $로 스케일링되지만, $ K = O(1/d) $일 경우 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $로 감소하여 차원 독립성을 확보한다.
• 연속 다양체의 유계 연산자들로 구성된 $ d(d+1) $개의 위상 매개변수를 가진 부분다양체에서 어떤 연산자의 평균값이라도 필요에 따라 추정할 수 있는 고정 크기의 측정 기록 $ O(\theta^{-2} \text{log} \theta^{-1}) $가 충분하다.
• 이 방법은 연속 변수 시스템에서 흔히 나타나는 에너지에 의존하는 오차 스케일링을 피하며, 이는 이산 시스템의 근본적인 이점임을 시사한다.
• MUBs는 보편 게이트 세트를 사용하여 선형 비용으로 실현 가능하므로, 표준 양자 게이트를 사용한 실험적으로 실현 가능한 방법이다.