[논문 리뷰] Self-consistent tomography of the state-measurement Gram matrix

Cyril Stark|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|2012. 09. 25.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 1인용 수 11

한 줄 요약

이 논문은 비가역적 측정(예: 비 degenerate 투사 측정)과 같은 전역적으로 완성 가능한 측정을 가정할 때, 준선형 프로그래밍을 이용해 상태-측정 그람 행렬을 자기 일관성 있게 재구성하는 방법을 제안한다. 이 방법은 헤르미트 행렬 공간 내에서 동시에 단위 변환되는 양상으로 양자 상태와 측정 연산자를 유일하게 결정하며, 큰 표본 수의 극한에서 엄밀한 신뢰성을 입증한다.

ABSTRACT

State and measurement tomography make assumptions about the experimental states or measurements. These assumptions are often not justified because state preparation and measurement errors are unavoidable in practice. Here we describe how the Gram matrix associated with the states and measurement operators can be estimated via semidefinite programming if the states and the measurements are so called globally completable. This is for instance the case if the unknown measurements are known to be projective and non-degenerate. The computed Gram matrix determines the states, and the measurement operators uniquely up to simultaneous rotations in the space of Hermitian matrices. We prove the reliability of the proposed method in the limit of a large number of independent measurement repetitions.

연구 동기 및 목표

• 이dealized 상태 또는 측정에 대한 가정에 의존하지 않고, 양자 톰그래피에서 상태 준비 및 측정 오차 문제를 해결한다.
• 사전에 상태나 측정에 대한 지식 없이 실험적 빈도 데이터로부터 양자 상태와 측정 연산자의 그람 행렬을 재구성하는 방법을 개발한다.
• 준선형 프로그래밍과 그람 행렬의 구조를 활용하여 체계적 오차에 강건한 재구성을 보장한다.
• 큰 표본 수의 극한에서 보른의 법칙이 정확히 성립할 때, 방법의 신뢰성을 입증한다.
• 그람 행렬이 동시에 단위 변환에 대해 유일하게 결정되는 조건을 설정한다.

제안 방법

• 대규모 N 근처에서의 실험 데이터를 빈도 표 $\mathcal{D}$ 로 표현하며, 항목 $f_{k|wv} = \mathrm{tr}(\rho_w E_{vk})$ 를 포함한다.
• 상태 $\rho_w$ 와 측정 연산자 $E_{vk}$ 를 $\mathbb{R}^{d^2}$ 내의 실수 벡터 $\vec{\rho}_w, \vec{E}_{vk}$ 로 표현하여 선형 내적 표현을 가능하게 한다.
• 상태-측정 그람 행렬 $G = P^T P$ 를 구성하며, 여기서 $P = (P_{\text{st}} \mid P_{\text{m}})$ 이고, $P_{\text{st}}$ 와 $P_{\text{m}}$ 은 각각 상태 및 측정 벡터를 포함한다.
• 준선형 프로그래밍을 통해 $G$ 를 복원하며, 조건은 $\text{find } G \in \mathcal{G}_{\text{QM}} \text{ subject to } G_\Omega = \vec{\mathcal{K}}, \text{ rank}(G) = \text{rank}(\mathcal{D})$ 이며, $\mathcal{G}_{\text{QM}}$ 은 양자적으로 실현 가능한 그람 행렬의 집합이다.
• 스펙트럴 노름 단위 구 내에서 행렬 질량 함수의 볼록 써포트를 증명하여 $\mathrm{rank}^{**}(Z) = \mathrm{tr}(Z)$ 를 도출함으로써 효율적인 최적화를 가능하게 한다.
• 하르 랜덤 순수 상태와 회전된 투사 측정을 샘플링하여 수치적 검증을 수행하며, 질량 일致성 평가를 위해 특이값 임계값 $\tau = 10^{-4}$ 를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이상적인 상태나 측정에 대한 가정 없이 실험적 빈도로부터 상태-측정 그람 행렬을 재구성할 수 있는가?
• RQ2 그람 행렬이 단위 변환에 대해 유일하게 결정되는 조건은 무엇인가?
• RQ3 상태 준비 및 측정의 체계적 오차는 양자 톰그래피에서 어떻게 완화할 수 있는가?
• RQ4 전역적으로 완성 가능한 측정(예: 비 degenerate 투사 측정)은 자기 일관성 있는 재구성에 어떻게 기여하는가?
• RQ5 스펙트럴 노름 볼 내에서 질량 제약의 볼록 근사화가 추정의 신뢰성 확보에 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• 상태와 측정이 전역적으로 완성 가능한 경우, 그람 행렬 $G$ 는 헤르미트 행렬 공간 내에서 동시에 단위 변환에 대해 유일하게 결정된다.
• 표본 수 $N \to \infty$ 의 극한에서 실험적 빈도가 보른의 법칙 확률로 수렴함에 따라, 방법은 신뢰할 수 있는 재구성을 달성한다.
• 질량 조건 $\mathrm{rank}(G) = \mathrm{rank}(\mathcal{D})$ 는 전체 그람 행렬과 관측된 데이터 행렬 간의 일致성을 보장한다.
• 스펙트럴 노름 볼 내에서 행렬 질량 함수의 볼록 써포트는 추적 함수이며, 이는 추적 최소화를 통한 효율적 준선형 프로그래밍을 가능하게 한다.
• 수치 실험 결과, 작은 특이값에 대해 임계값 $\tau = 10^{-4}$ 를 적용했을 때 재구성된 그람 행렬의 질량이 $\mathcal{D}$ 와 일致함을 확인하였다.
• 이 방법은 통계적 변동을 고려하는 신뢰 영역 방법과는 상호 보완적이며, 통계적 변동은 간과하고 모델의 비완전성에 대한 강건성을 중시한다.