[논문 리뷰] Self-organized "slimming" of power law tails by increasing market returns

Didier Sornette|arXiv (Cornell University)|2000. 10. 06.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 이전 모델에서 관찰된 바와 같이 수익률 분포의 꼬리가 1보다 작은 지수를 가진 파wer-법칙 꼬리(heavy-tailed)를 보이지만, 이를 위반하는 실증 관측치와 모순되는 점을 해결하기 위해 일반화된 유리적 버블 모델을 제안한다. 시장 보상 프리미엄이 할인율을 초과할 경우, 이 모델은 높은 기대 수익률이 더 얇은 꼬리와 증가한 변동성으로 이어지며, 이는 소규모 위험과 극단적 위험을 자가조절적으로 균형 잡는 시장의 특성을 나타낸다.

ABSTRACT

We introduce a simple generalization of rational bubble models which removes the fundamental problem discovered by [Lux and Sornette, 1999] that the distribution of returns is a power law with exponent less than 1, in contradiction with empirical data. Our model predicts that, the higher is the market remuneration above the discount rate, the thinner is the tail of price returns but the larger is the volatility. Financial markets seem to have self-organized to balance “small ” and extreme risks. 1 The fundamental constraint on distribution of returns of rational bubbles Since the publication of the original contributions on rational expectations (RE) bubbles by [Blanchard, 1979] and [Blanchard and Watson, 1982], a huge literature has emerged on theoretical refinements of the original concept and the empirical detectability of RE bubbles in financial data (see [Camerer, 1989] and [Adam and Szafarz, 1992], for surveys of this literature). Recently, [Lux and Sornette, 1999] studied the implications of the bubble models for the unconditional distribution of prices, price changes and returns resulting from a very general discrete-time formulation of rational speculative bubbles: Bt+1 = atBt + bt, (1) where at and bt i.i.d. random variables drawn from some non-degenerate probability density function (pdf) Pa(a) and Pb(b) respectively with E[bt] = 0. In (1), Bt denotes the difference between the observed price and the fundamental price and can thus be negative. Denoting E[.] the expectation operator, provided E[ln a] < 0 (stationarity condition) and if there is a number µ such that 0 < E[|b | µ] < +∞, E[|a | µ] = 1 (2) and E[|a | µ ln |a|] < +∞, then the tail of the distribution of B is asymptotically a power law

연구 동기 및 목표

• 기대 수익률 분포의 파워-법칙 꼬리 지수(지수 < 1)로 인해 실증 데이터와 모순되는 기존의 유리적 버블 모델의 근본적 불일치를 해결하기 위해.
• 할인율을 초월하는 시장 보상 프리미엄이 가격 수익률의 꼬리 행동 및 변동성에 어떤 영향을 미치는지 조사하기 위해.
• 자산 가격 형성 과정에서의 구조적 동역학을 통해 금융 시장이 소규모 위험과 극단적 위험을 자가조절적으로 균형 잡는지 탐색하기 위해.
• 이산 시간 유리적 버블 모델(Bt+1 = atBt + bt)을 일반화하여 실증 관측치와 일치하는 파워-법칙 꼬리 행동을 허용하기 위해.
• 버블 구성요소 Bt의 분포가 실증적으로 타당한 지수를 가진 渐近적 파워-법칙 꼬리를 보이게 하는 조건을 설정하기 위해.

제안 방법

• 이산 시간 유리적 버블 모델 Bt+1 = atBt + bt를 일반화하며, at와 bt는 주어진 확률 밀도 함수를 가진 i.i.d. 랜덤 변수이다.
• 정적 조건 E[ln a] < 0 과 모멘트 조건 E[|b|μ] < ∞ 및 E[|a|μ] = 1 (어떤 μ > 0에 대해)를 도입한다.
• 이 조건 하에서 Bt의 渐近적 꼬리 행동을 유도하며, Bt의 분포가 모멘트 조건에 의해 결정되는 지수를 가진 파워-법칙을 따른다는 것을 보여준다.
• 시장 보상 프리미엄 증가(즉, 할인율 대비 높은 기대 수익률)가 꼬리 두께와 변동성에 미치는 영향을 분석한다.
• 수렴성과 파워-법칙 분포의 꼬리 지수를 특성화하기 위해 E[|a|μ ln|a|] < ∞ 를 포함한 모멘트 조건을 사용한다.
• 더 높은 시장 수익률이 더 얇은 꼬리(더 높은 꼬리 지수)와 더 큰 변동성으로 이어지며, 이는 금융 시장 내 자가조절 메커니즘이 있음을 시사한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존의 유리적 버블 모델은 왜 기대 수익률 분포의 파워-법칙 꼬리 지수(지수 < 1)를 보이며, 이를 실증 수익률 분포와 모순되는가?
• RQ2 할인율을 초월하는 시장 보상 프리미엄 증가가 유리적 버블 모델에서 가격 수익률의 꼬리 두께와 변동성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 자산 가격 형성 과정의 구조적 동역학을 통해 금융 시장이 소규모 위험과 극단적 위험을 자가조절적으로 균형 잡을 수 있는가?
• RQ4 버블 구성요소 Bt가 실증적으로 타당한 지수를 가진 파워-법칙 꼬리를 보이게 하기 위해 필요한 모멘트 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반화된 모델은 이론적 예측을 실증 관측된 금융 수익률 분포와 어떻게 조율하는가?

주요 결과

• 이 모델은 더 높은 시장 보상 프리미엄이 수익률 분포의 파워-법칙 꼬리가 얇아지는 것을 보여줌으로써 이전의 유리적 버블 모델의 모순을 해결한다.
• 시장 보상 프리미엄 증가는 더 큰 변동성을 초래하며, 이는 꼬리 위험과 시장 전반의 위험 취약성 간의 트레이드오프를 나타낸다.
• 버블 구성요소 Bt의 분포 꼬리 지수는 E[|a|μ] = 1 및 E[|a|μ ln|a|] < ∞ 를 포함한 모멘트 조건에 의해 결정된다.
• 이 모델은 기대 수익률과 변동성 간의 상호작용 조정을 통해 금융 시장이 소규모 위험과 극단적 위험을 자가조절적으로 균형 잡는다고 예측한다.
• 지정된 모멘트 조건 하에서 Bt의 渐近적 꼬리 행동은 파워-법칙을 따르며, 지수는 확률 승수 at의 분포에 따라 달라진다.
• 이론적 예측이 관측된 금융 데이터와 일치하기 위해 모델이 할인율 초과 프리미엄을 포함할 경우 실증적으로 타당한 꼬리 지수를 달성한다.