[논문 리뷰] SELF-SIMILAR PRIOR AND WAVELET BASES FOR HIDDEN INCOMPRESSIBLE TURBULENT MOTION

F. Lavancier, S. Kadri-harouna|arXiv (Cornell University)|2013. 02. 22.

Image and Signal Denoising Methods참고 문헌 50인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 이미지 시퀀스에서 비압축성 난류 속도장을 추정하는 불안정한 역문제를 효율적으로 해결하기 위해 발산이 없는 분수 차수 브라운 운동(fBm)의 웨이브렛 기반 표현을 제안한다. 자기유사성 fBm 사전을 전문화된 웨이브렛 기저로 분해함으로써(백색화 필터 또는 발산이 없는 웨이브렛을 통해), 최대사후확률(MAP) 추정기의 실용적 구현이 가능해지며, 분수 차수 라플라스 연산자의 수치적 도전 과제를 극복한다. 광범위한 수치적 검증을 통해 그 효과성이 확인된다.

ABSTRACT

Abstract. This work is concerned with the ill-posed inverse problem of estimating turbulent flows from the observation of an image sequence. From a Bayesian perspective, a divergence-free isotropic fractional Brownian motion (fBm) is chosen as a prior model for instantaneous turbulent velocity fields. This self-similar prior characterizes accurately second-order statistics of velocity fields in incompressible isotropic turbulence. Nevertheless, the associated maximum a posteriori involves a fractional Laplacian operator which is delicate to implement in practice. To deal with this issue, we propose to decompose the divergent-free fBm on well-chosen wavelet bases. As a first alternative, we propose to design wavelets as whitening filters. We show that these filters are fractional Laplacian wavelets composed with the Leray projector. As a second alternative, we use a divergence-free wavelet basis, which takes implicitly into account the incompressibility constraint arising from physics. Although the latter decomposition involves correlated wavelet coefficients, we are able to handle this dependence in practice. Based on these two wavelet decompositions, we finally provide effective and efficient algorithms to approach the maximum a posteriori. An intensive numerical evaluation proves the relevance of the proposed wavelet-based self-similar priors. Key words. Bayesian estimation, fractional Brownian motion, divergence-free wavelets, frac-tional Laplacian, connection coefficients, fast transforms, optic-flow, isotropic turbulence. AMS subject classifications. 60G18, 60G22, 60H05, 62F15, 65T50, 65T60 1. Introduction. This

연구 동기 및 목표

• 이미지 시퀀스에서 비압축성 난류 속도장을 베이지안 추정을 통해 복원하는 불안정한 역문제를 해결하기 위해.
• 자기유사성과 발산이 없는 fBm 사전을 위한 MAP 추정기에서 분수 차수 라플라스 연산자의 계산 불가능성을 극복하기 위해.
• 웨이브렛 분해를 활용하여 발산이 없고 자기유사성을 유지하는 효율적이고 수치적으로 안정된 알고리즘을 개발하기 위해.
• 난류 흐름 복원에 대한 광범위한 수치 실험을 통해 제안된 웨이브렛 기반 사전의 유효성을 검증하기 위해.

제안 방법

• 자기유사성 제2차 통계를 캡처하기 위해 난류 속도장을 발산이 없는 등방향 분수 차수 브라운 운동(fBm)으로 모델링하기 위해.
• 백색화 필터 방법을 사용하여 fBm 사전을 웨이브렛 기저로 변환하며, 이 필터는 분수 차수 라플라스 웨이브렛과 레일리 프로젝터의 조합으로 구성된다.
• 웨이브렛 구성 과정을 통해 발산이 없는 조건을 암묵적으로 강제하는 발산이 없는 웨이브렛 기저를 구축하기 위해.
• 분수 차수 라플라스 연산자의 연결 계수를 재귀적 복합화를 통해 계산하고, 수치적 안정성을 확보하기 위해 점점 가까워지는 경계 조건을 갖는 선형 시스템을 해결하기 위해.
• 빠른 변환(FWT)을 적용하여 웨이브렛 계수를 효율적으로 계산하고, 확장 가능한 MAP 추정을 가능하게 하기 위해.
• 말라트의 빠른 재귀 필터링 알고리즘을 사용하여 분수 차수 라플라스 커널의 웨이브렛 변환을 계산함으로써 사전의 작용을 신속하게 계산할 수 있도록 하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 웨이브렛 기반 표현은 난류 속도장의 자기유사성과 발산이 없는 fBm 사전을 효과적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ2 웨이브렛 분해를 통해 MAP 추정에서 분수 차수 라플라스 연산자의 수치적 비가능성을 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 웨이브렛 기반 사전은 난류 흐름 복원에서 발산이 없고 자기유사성을 얼마나 잘 유지하는가?
• RQ4 백색화 필터와 발산이 없는 기저라는 두 가지 제안된 웨이브렛 접근법은 정확도와 계산 효율성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 웨이브렛 기반 자기유사 사전은 분수 차수 라플라스 연산자의 수치적 과제를 극복하고, 이미지 시퀀스에서 난류 속도장을 효과적이고 효율적으로 MAP 추정할 수 있도록 한다.
• 백색화 필터 접근법은 레일리 프로젝터와 조합된 분수 차수 라플라스 웨이브렛을 구성하여 안정적이고 구현 가능한 사전 표현을 제공한다.
• 발산이 없는 웨이브렛 기저는 발산을 암묵적으로 강제하며, 비록 웨이브렛 계수가 상관관계가 있더라도 계산적으로 타당성이 유지된다.
• 수치적 평가 결과 웨이브렛 기반 사전의 관련성이 확인되었으며, 현실적인 이미지 관측 모델 하에서 난류 속도장을 정확하게 복원하는 데 성공했다.
• 점점 가까워지는 경계 조건을 갖는 선형 시스템을 통한 연결 계수 계산은 분수 차수 라플라스 커널에 대한 수치적 정확성과 안정성을 보장한다.
• 빠른 변환(FWT)이 웨이브렛 계수를 계산하는 데 성공적으로 적용되어, MAP 추정기의 확장 가능하고 효율적인 구현을 가능하게 한다.