[논문 리뷰] Self-similarity and fractional Brownian motions on Lie groups

Fabrice Baudoin, Laure Coutin|ArXiv.org|2006. 03. 08.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 6인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 허스트 매개수 $ H > \frac{1}{4} $ 를 가진 선형 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식의 해로서 리 군 위의 분수 브라운 운동을 제안한다. 이 과정은 정적 증분과 국소 자기유사성을 가지며, 자기유사성이 전역적인 성질을 갖는 군은 단순연결된 노름 리 군임을 규명한다. 또한 경로 공간 상에서 적분 by parts 공식을 증명하여 하어르 측도에 대한 매끄러운 밀도 존재성을 유도한다.

ABSTRACT

The goal of this paper is to define and study a notion of fractional Brownian motion on a Lie group. We define it as at the solution of a stochastic differential equation driven by a linear fractional Brownian motion. We show that this process has stationary increments and satisfies a local self-similar property. Furthermore the Lie groups for which this self-similar property is global are characterized. Finally, we prove an integration by parts formula on the path group space and deduce the existence of a density.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식의 해로서 일반 리 군 위에서 분수 브라운 운동을 정의하고 연구하는 것.
• 해가 정적 증분과 국소 자기유사성을 가짐을 증명하는 것.
• 자기유사성이 전역적인 성질을 갖는 리 군을 규명하는 것.
• 경로 공간 상에서 적분 by parts 공식을 증명하여 유한차원 분포에 대한 매끄러운 밀도 존재성을 유도하는 것.

제안 방법

• 기저 $ (V_1, \dots, V_d) $ 와 $ H > \frac{1}{4} $ 인 $ d $ 차원 분수 브라운 운동을 사용하여 리 대수 $ \mathfrak{g} $ 상에서 표준 분수 브라운 운동을 정의한다.
• 초기 조건 $ X_0 = 1_\mathbf{G} $ 를 가진 거친 경로 SDE $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $ 를 거친 경로 이론을 통해 존재성과 유일성을 확보한다.
• 이분 분할에 沿한 분수 브라운 운동의 선형 보간을 사용하고, 극한을 취하여 $ 1/p $- Hölder 위상에서 해를 구성한다.
• 등급 이동 과정 $ (X_s^{-1}X_{t+s})_{t \geq 0} $ 를 분석하여 등급 이동에 대한 불변성과 증분의 정적성을 증명한다.
• 거친 경로에 대한 밀라비앙 미적분과 전이 원리를 사용하여 경로 군 공간 상에서 적분 by parts 공식을 유도한다.
• 적분 by parts 공식을 적용하여 밀라비앙 행렬이 가역임을 보이고, 이는 하어르 측도에 대한 매끄러운 밀도 존재성을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반 리 군에서 분수 브라운 운동을 분수 브라운 운동에 의해 구동되는 확률미분방정식을 통해 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ2 이러한 과정의 척도 성질은 무엇이며, 자기유사성이 국소적인 성질이 아니라 전역적인 성질이 되는 경우는 언제인가?
• RQ3 어떤 리 군에서 분수 브라운 운동에 대해 전역 자기유사성의 구조가 존재하는가?
• RQ4 해의 유한차원 분포가 군 상의 하어르 측도에 대해 매끄러운 밀도를 가지는가?
• RQ5 경로 공간 상에서 적분 by parts 공식을 확립하여 밀라비앙 미적분 기법을 적용할 수 있는가?

주요 결과

• 분수 브라운 운동이 $ dX_t = X_t dB^\mathfrak{g}_t $ 의 해로서 정의된 리 군 위의 과정은 모든 $ H > \frac{1}{4} $ 에 대해 정적 증분을 가진다.
• 과정은 매개수 $ H $ 를 가진 국소 자기유사성을 가지며, 키누타의 의미에서 점차 자기유사성도 갖는다.
• 전역 자기유사성이 성립하는 것은 단지 군이 단순연결되고 노름일 때에 한하여 성립한다.
• 거친 경로 이론과 밀라비앙 미적분을 사용하여 경로 군 공간 상에서 적분 by parts 공식을 확립하였다.
• 밀라비앙 행렬이 가역임을 증명하여, 과정의 유한차원 분포가 하어르 측도에 대해 매끄러운 밀도를 가짐을 유도하였다.
• 결과는 옥시드럴 프레임 번들의 및 Eells-Elworthy-Malliavin 구성에 의해 리만 다양체로 확장된다.