[논문 리뷰] Self-similarity parameter estimation and reproduction property for non-Gaussian Hermite processes

Alexandra Chronopoulou, Frédéri Viens외 1명|arXiv (Cornell University)|2008. 07. 08.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다중 움베르-이토 적분과 말리아빈 미적분을 통해 비정규 허미트 과정에 대한 재생성 성질을 확립하며, 이러한 과정의 변동성이 다른 차수와 허스트 매개수를 가진 새로운 허미트 과정을 생성함을 보여준다. 이는 이산 관측 자료로부터 자기유사성 매개수 $ H $에 대한 일致한 추정량을 제안하며, 비중앙극한정리와 $ L^p $ 수렴 결과를 통해 증명된다.

ABSTRACT

We consider the class of all the Hermite processes $(Z_{t}^{(q,H)})_{t\\in \\lbrack 0,1]}$ of order $q\\in \\mathbf{N}^{\\ast}$ and with Hurst parameter $% H\\in (\\frac{1}{2},1)$. The process $Z^{(q,H)}$ is $H$-selfsimilar, it has stationary increments and it exhibits long-range dependence identical to that of fractional Brownian motion (fBm). For $q=1$, $Z^{(1,H)}$ is fBm, which is Gaussian; for $q=2$, $Z^{(2,H)}$ is the Rosenblatt process, which lives in the second Wiener chaos; for any $q>2$, $Z^{(q,H)}$ is a process in the $q$th Wiener chaos. We study the variations of $Z^{(q,H)}$ for any $q$, by using multiple Wiener -It\\^{o} stochastic integrals and Malliavin calculus. We prove a reproduction property for this class of processes in the sense that the terms appearing in the chaotic decomposition of their variations give rise to other Hermite processes of different orders and with different Hurst parameters. We apply our results to construct a strongly consistent estimator for the self-similarity parameter $H$ from discrete observations of $Z^{(q,H)}$; the asymptotics of this estimator, after appropriate normalization, are proved to be distributed like a Rosenblatt random variable (value at time $1$ of a Rosenblatt process).with self-similarity parameter $1+2(H-1)/q$.

연구 동기 및 목표

• 차수 $ q $와 허스트 매개수 $ H \in (\frac{1}{2}, 1) $를 가진 비정규 허미트 과정의 변동 성질을 조사한다.
• 혼돈 분해를 통한 변동의 재생성 성질을 확립하여, 차수와 허스트 매개수가 변경된 새로운 허미트 과정을 도출한다.
• 이산 관측 자료를 이용하여 자기유사성 매개수 $ H $에 대한 일치 추정량을 개발한다.
• 제안된 추정량에 대해 $ L^2 $에서 $ L^p $-노름으로의 수렴 결과를 확장한다.

제안 방법

• 다중 움베르-이토 스토케스틱 적분을 사용하여 허미트 과정의 변동을 정규직교 혼돈 성분으로 분해한다.
• 말리아빈 미적분을 적용하여 이러한 변동의 구조를 분석하고 점근적 분포를 도출한다.
• 비중앙극한정리를 활용하여 정규화된 이차 및 고차 변동의 점근적 행동을 특성화한다.
• 이산 샘플링 하에서 $ q $-변동의 스케일링 행동을 분석함으로써 $ H $에 대한 일치 추정량을 유도한다.
• 혼돈 성분에 대한 모멘트 경계를 확장하고 헬더 부등식을 적용하여 추정량의 $ L^p $-수렴을 확립한다.
• 체비세프 부등식과 모멘트 추정을 사용하여 꼬리 확률을 제어하고 확률적 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 허미트 과정의 변동에 대한 혼돈 분해는 다른 매개수를 가진 새로운 허미트 과정을 생성하는가?
• RQ2 비정규 허미트 과정의 이산 관측 자료로부터 자기유사성 매개수 $ H $를 일치적으로 추정할 수 있는가?
• RQ3 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $인 허미트 과정에 대해 정규화된 $ q $-변동의 점근적 분포는 무엇인가?
• RQ4 추정량의 수렴 성질은 $ L^2 $에서 $ L^p $-노름으로 어떻게 일반화되는가?

주요 결과

• 차수 $ q $와 허스트 매개수 $ H $를 가진 허미트 과정의 변동은 차수 $ q $와 자기유사성 매개수 $ q(H-1)+1 $를 가진 새로운 허미트 과정을 생성하며, 이는 재생성 성질을 증명한다.
• 모든 $ H > 1 - \frac{1}{2q} $에 대해, 정규화된 $ q $-변동 $ N^{q(1-H)-1}v_N^{(q)} $는 비정규 허미트 랜덤 변수(차수 $ q $)로 분포 수렴한다.
• 자기유사성 매개수 $ H $에 대한 제안된 추정량 $ \hat{H} $는 일致적이며, $ N \to \infty $일 때 $ \hat{H} \to H $가 확률적으로 성립한다.
• 추정량의 수렴은 모든 $ p \geq 1 $에 대해 $ L^p(\Omega) $에서 성립하며, 이는 $ L^2 $-수렴 결과를 더 강한 노름으로 확장한다.
• 증명은 모멘트 경계와 꼬리 확률 추정을 기반으로 하며, 체비세프의 부등식을 통해 오차 $ |H - \hat{H}| $가 $ N \to \infty $일 때 소멸함을 보여준다.