[논문 리뷰] Self-simulable groups

Sebastián Barbieri, Mathieu Sablik외 1명|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 12.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 40인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 생성된 군들 중에서 모든 효과적으로 닫힌 0차원 작용이 유한 유형의 부분역사의 위상적 인자로 표현되는 군, 즉 자기모의 가능한 군(self-simulable groups)의 개념을 도입한다. 비가역성 군들인 자유군의 직접곱, Burger-Mozes 군, Thompson의 V, 그리고 n ≥ 5일 때 GLₙ(ℤ) 등이 자기모의 가능하다는 것을 증명하며, 자기모의 가능성은 결정 가능성이 보장되는 단어 문제를 갖는 강력한 비주기성 SFT의 존재를 암시한다.

ABSTRACT

We say that a finitely generated group $Γ$ is self-simulable if every effectively closed action of $Γ$ on a closed subset of $\{ exttt{0}, exttt{1}\}^{\mathbb{N}}$ is the topological factor of a $Γ$-subshift of finite type. We show that self-simulable groups exist, that any direct product of non-amenable finitely generated groups is self-simulable, that under technical conditions self-simulability is inherited from subgroups, and that the subclass of self-simulable groups is stable under commensurability and quasi-isometries of finitely presented groups. Some notable examples of self-simulable groups obtained are the direct product $F_k imes F_k$ of two free groups of rank $k \geq 2$, non-amenable finitely generated branch groups, the simple groups of Burger and Mozes, Thompson's $V$, the groups $\operatorname{GL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{SL}_n(\mathbb{Z})$, $\operatorname{Aut}(F_n)$ and $\operatorname{Out}(F_n)$ for $n \geq 5$; The braid groups $B_m$ for $m \geq 7$, and certain classes of RAAGs. We also show that Thompson's $F$ is self-simulable if and only if $F$ is non-amenable, thus giving a computability characterization of this well-known open problem. We also exhibit a few applications of self-simulability on the dynamics of these groups, notably, that every self-simulable group with decidable word problem admits a nonempty strongly aperiodic subshift of finite type.

연구 동기 및 목표

• 자기모의 가능한 군을 정의하고 특성화하기 — 효과적으로 닫힌 0차원 동역학이 부분역사의 유한 유형에 의해 완전히 기록되는 유한 생성 군.
• 특히 비가역성 및 유한 표현 군들인 군의 계열 중에서 자기모의 가능한 군들이 무엇인지 규명하기.
• 자기모의 가능성의 동역학적 및 계산 가능성적 결과 탐색, 예를 들어 강력한 비주기성 부분역사의 유한 유형의 존재.
• 자기모의 가능한 군의 계열이 갖는 구조적 성질 탐구, 특히 공역성, 준등장성, 그리고 직접곱에 대한 닫힘 성질.
• Thompson의 F가 자기모의 가능할 조건은 비가역성일 때뿐이며, 이를 통해 계산 이론적 특성화를 제공하기.

제안 방법

• 자기모의 가능한 군을 정의함: {0,1}^ℕ의 닫힌 부분집합 위에서의 모든 효과적으로 닫힌 작용이 Γ-유한 유형 부분역사의 위상적 인자로 표현되는 군.
• 패러독스적 분해와 기호 동역학을 활용하여 임의의 효과적으로 닫힌 작용을 모의하는 부분역사의 유한 유형을 구성함.
• Hochman 유형의 모의 정리의 역방향 적용: 더 큰 군을 통해 Γ-작용을 모의하는 것이 아니라, Γ 자체가 SFT를 통해 자신의 동역학을 모의할 수 있음을 보임.
• 비가역성 군과 그 작용에 관한 결과를 활용하여, 비가역성 군들의 직접곱과 특정 산술 군들에 대한 자기모의 가능성 증명.
• 자기모의 가능성의 결과로 강력한 비주기성 SFT의 존재와 결정 가능성이 보장되는 단어 문제를 활용함.
• 기호 동역학과 군론 기법, 특히 부분역사 인자와 계산 이론적 감소를 활용하여 닫힘 성질을 증명함.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 유한 생성 군 중에서 어떤 군들이 자기모의 가능할까? 특히 비가역성 군과 산술 군들 중에서.
• RQ2 Thompson의 F가 자기모의 가능할 조건은 비가역성일 때뿐인가? 이는 주요 미해결 문제의 계산 이론적 특성화를 제공한다.
• RQ3 자기모의 가능한 부분군으로부터 전체 군으로 자기모의 가능성 성질이 내림내림되는가? 특히 한 개의 끝을 갖는 군이나 단어 하이퍼볼릭 군에서.
• RQ4 유한 표현 군에 대해 자기모의 가능성 성질이 준등장성과 공역성에 의해 유지되는가?
• RQ5 GLₙ(ℤ), Aut(Fₙ), Out(Fₙ), 브레이드 군 Bₘ 는 작은 n과 m에 대해 자기모의 가능한가?

주요 결과

• 모든 비가역성 유한 생성 군들의 직접곱은 자기모의 가능하다.
• k ≥ 2일 때 Fₖ × Fₖ 는 자기모의 가능하며, 비가역성 유한 생성 분지 군들 역시 자기모의 가능하다.
• Thompson의 V 는 자기모의 가능하며, Thompson의 F 는 비가역성일 때에만 자기모의 가능하다.
• n ≥ 5일 때 GLₙ(ℤ), SLₙ(ℤ), Aut(Fₙ), Out(Fₙ) 는 자기모의 가능하다.
• m ≥ 7일 때 브레이드 군 Bₘ 는 자기모의 가능하다.
• 결정 가능성이 보장되는 단어 문제를 갖는 모든 자기모의 가능한 군은 비어 있지 않은 강력한 비주기성 부분역사의 유한 유형을 갖는다.