[논문 리뷰] Selling to Cournot oligopolists: pricing under uncertainty & generalized mean residual life.

Stefanos Leonardos, Costis Melolidakis|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 27.

Advanced Statistical Process Monitoring인용 수 2

한 줄 요약

이 논문은 수요 불확실성 하에서 수익을 극대화하는 공급자가 완전하지 않은 정보 하에서 도매 가격을 설정하는 이단계 쿠르노 올리고폴리 시장 모델을 제시한다. 일반화된 평균 잔여 수명(GMRL) 함수를 도입하여 최적 가격을 특성화하고, 감소하는 일반화된 평균 잔여 수명(DGMRL) 성질이 단일 최대값을 갖는 수익 함수를 보장하며 고정점 특성화를 가능하게 하며, DGMRL 분포에 대해 시장 비효율성에 대한 날카로운 경계를 제공한다.

ABSTRACT

We study a classic Cournot market, which we extend to a two-stage game with endogenous cost formation: the retailers' marginal cost represents purchases from a price-setting, revenue-maximizing supplier. Any demand uncertainty falls to the supplier, who acts first and sets the wholesale price under incomplete information concerning the retailers' willingness to pay. We introduce the generalized mean residual life (GMRL) function of the supplier's belief distribution F and show that his revenue function is unimodal, if the GMRL function is decreasing - (DGMRL) property - and F has finite second moment. In this case, we characterize the supplier's optimal price as a fixed point of his MRL function and provide a bound on the market-inefficiency due to demand uncertainty, which is tight over the class of DMRL distributions. We then turn to the class of DGMRL random variables and study their moments, limiting behavior, and closure properties. Under the additional assumption that F has a density, we establish its relationship to the widely used class of increasing generalized failure rate (IGFR) random variables. If a random variable is IGFR, then it is DGMRL. We provide a sufficient condition for the converse to be true and show that the limiting behavior of the GMRL and GFR functions is closely linked under a reciprocal relationship.

연구 동기 및 목표

• 수요 불확실성 하에서 소매업자들의 지불 의사에 대한 정보가 불완전한 상황에서 수익을 극대화하는 공급자가 도매 가격을 설정하는 이단계 쿠르노 게임을 모델링한다.
• 분산 공급망에서 수요 불확실성이 공급자의 가격 설정과 시장 효율성에 미치는 영향을 분석한다.
• 일반화된 평균 잔여 수명(GMRL) 함수를 도입하고, 이 함수를 통해 불확실성 하에서 최적 가격을 특성화하는 방법을 분석한다.
• 공급자의 수익 함수가 단일 최대값을 갖는 조건과 최적 가격이 GMRL 함수의 고정점으로 특성화될 수 있는 조건을 확립한다.
• DGMRL 성질과 IGFR 등의 다른 확률적 클래스 간의 관계를 조사하고, 그에 따른 모멘트와 점근적 행동에 대한 함의를 탐색한다.

제안 방법

• 불완전한 정보 하에서 공급자의 수익 극대화 문제를 분석하기 위해 일반화된 평균 잔여 수명(GMRL) 함수를 핵심 분석 도구로 도입한다.
• GMRL 함수가 감소하는(DGMRL) 경우와 믿음 분포 F가 유한한 두 번째 모멘트를 갖는 조건 하에서 공급자의 수익 함수가 단일 최대값을 갖는 것으로 규명한다.
• DGMRL 조건 하에서 최적 도매 가격이 공급자의 MRL 함수의 고정점으로 특성화됨을 규명한다.
• DGMRL 분포의 전체 클래스에 대해 유효한 수요 불확실성으로 인한 시장 비효율성에 대한 날카로운 상한 경계를 유도한다.
• 믿음 분포 F에 밀도가 존재한다고 가정할 때 DGMRL 랜덤 변수의 모멘트, 점근적 행동 및 닫힘 성질을 분석한다.
• IGFR(증가하는 일반화된 장애율) 클래스가 DGMRL 클래스의 부분집합임을 입증하고, 그 역방향이 성립하기 위한 충분조건을 제시하며, GMRL과 GFR 함수 간의 역관계를 통해 두 함수의 점근적 행동을 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 쿠르노 올리고폴리에서 수요 불확실성이 존재할 경우, 공급자의 수익 함수가 단일 최대값을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 공급자가 불완전한 정보 하에서 작동하고 GMRL 함수를 사용할 경우, 최적 도매 가격은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ3 수요 불확실성으로 인한 시장 비효율성에 대한 가장 날카로운 경계는 무엇이며, 어떤 분포 클래스에서 이를 달성하는가?
• RQ4 DGMRL 성질과 IGFR 랜덤 변수 클래스 간의 관계는 무엇이며, IGFR가 DGMRL를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ5 역함수 관계 하에서 GMRL과 일반화된 장애율(GFR) 함수의 점근적 행동은 어떻게 관련되어 있는가?

주요 결과

• 일반화된 평균 잔여 수명(GMRL) 함수가 감소하는(DGMRL) 경우와 믿음 분포 F가 유한한 두 번째 모멘트를 갖는 조건 하에서 공급자의 수익 함수는 단일 최대값을 갖는다.
• DGMRL 조건 하에서 최적 도매 가격은 공급자의 MRL 함수의 고정점으로 특성화된다.
• 수요 불확실성으로 인한 시장 비효율성에 대한 날카로운 상한 경계가 도출되었으며, 이 경계는 DGMRL 분포 전체 클래스에 대해 유효하다.
• IGFR(증가하는 일반화된 장애율) 랜덤 변수의 클래스는 DGMRL 클래스의 부분집합임이 입증되어, 이러한 확률적 성질 간의 계층적 관계가 확인된다.
• DGMRL이 IGFR를 유도함을 보장하는 충분조건를 제시하였으며, 이 조건 하에서 GMRL과 GFR 함수의 점근적 행동이 역관계를 통해 밀접하게 연결됨을 규명하였다.