[논문 리뷰] Selmer groups as flat cohomology groups

Kęstutis Česnavičius|arXiv (Cornell University)|2013. 01. 21.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 21인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 충분히 큰 소수 $p$에 대해, 수체 위의 아벨 다양체의 $p^m$-세일러 군이 그 모od $p^m$ 갈루아 표현에 의해 결정됨을 확립한다. fppf 코homology와 네론 모델을 사용하여, $p$에 대한 명시적 조건 하에서 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$가 평탄 코hom로군 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$와 동형임을 보이고, $\Sigma$라는 유한 집합 외의 $p$에 대해 $\mathcal{A}[p^m]$가 $A[p^m]$에 의해 결정됨을 증명함으로써, 세일러 군의 코hom로지컬 기술을 모od $p^m$ 자료에 기반하여 제공한다.

ABSTRACT

Given a prime number $p$, Bloch and Kato showed how the $p^\infty$-Selmer group of an abelian variety $A$ over a number field $K$ is determined by the $p$-adic Tate module. In general, the $p^m$-Selmer group $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ need not be determined by the mod $p^m$ Galois representation $A[p^m]$; we show, however, that this is the case if $p$ is large enough. More precisely, we exhibit a finite explicit set of rational primes $Σ$ depending on $K$ and $A$, such that $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ is determined by $A[p^m]$ for all $p ot \in Σ$. In the course of the argument we describe the flat cohomology group $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ of the ring of integers of $K$ with coefficients in the $p^m$-torsion $\mathcal{A}[p^m]$ of the Néron model of $A$ by local conditions for $p ot\in Σ$, compare them with the local conditions defining $\mathrm{Sel}_{p^m} A$, and prove that $\mathcal{A}[p^m]$ itself is determined by $A[p^m]$ for such $p$. Our method sharpens the known relationship between $\mathrm{Sel}_{p^m} A$ and $H^1_{\mathrm{fppf}}(O_K, \mathcal{A}[p^m])$ and continues to work for other isogenies $ϕ$ between abelian varieties over global fields provided that $\mathrm{deg} ϕ$ is constrained appropriately. To illustrate it, we exhibit resulting explicit rank predictions for the elliptic curve $11A1$ over certain families of number fields.

연구 동기 및 목표

• 수체 $K$ 위의 아벨 다양체 $A$의 $p^m$-세일러 군 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$가 모od $p^m$ 갈루아 표현 $A[p^m]$에 의해 언제 결정되는지 규명하는 것.
• 네론 모델 $\mathcal{A}$의 평탄 코hom로군 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$를 사용하여 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$의 코hom로지컬 기술을 확립하는 것.
• 모든 $p \notin \Sigma$에 대해 $p^m$-세일러 군이 $A[p^m]$에 의해 결정됨을 보장하는 유한한 소수 집합 $\Sigma$를 규명하는 것.
• 적절한 $\deg\phi$ 및 국소 불변량 조건 하에서 아벨 다양체 간의 이소지니 $\phi$로 이 결과를 일반화하는 것.

제안 방법

• 아벨 다양체 $A$의 네론 모델 $\mathcal{A}$를 통해 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$와 평탄 코hom로군 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$를 연결하기 위해 fppf 코homology를 사용하는 것.
• 감소 유형과 타마구와 인자가 조건을 만족할 경우, $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[\phi])$와 $\phi$-세일러 군 $\operatorname{Sel}_\phi A$ 사이의 동형을 확립하는 것.
• 지역 조건과 분비 한계 $e_v < p_v - 1$에 기반하여, $p$가 유한 집합 $\Sigma$ 외일 경우 $\mathcal{A}[p^m]$가 $A[p^m]$에 의해 결정됨을 증명하는 것.
• 내림 이론과 평탄 기저 변경을 적용하여 국소 fppf 코homology를 국소 갈루아 코hom로지와 세일러 조건에 연결하는 것.
• 크리스탈린 주기 링 $B_{\mathrm{cris}}$를 사용하여 국소 조건 $H^1_f(K_v, V_pA)$를 정의하고, 이를 $A(K_v) \otimes \mathbb{Q}_p / \mathbb{Z}_p$와 연결하는 것.
• 감소 조건 하에서 $\mathcal{A}[\phi]$의 평탄성과 유한성 성질을 분석함으로써, 임의의 이소지니 $\phi$로의 일반화를 수행하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어느 소수 $p$에 대해 $p^m$-세일러 군 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$가 모od $p^m$ 갈루아 표현 $A[p^m]$에 의해 결정되는가?
• RQ2 네론 모델 $\mathcal{A}[p^m]$의 평탄 코hom로군을 통해 $p^m$-세일러 군을 명시적으로 기술할 수 있는가?
• RQ3 $p$, 체 $K$, 아벨 다양체 $A$에 대한 어떤 조건이 $\mathcal{A}[p^m]$이 $A[p^m]$에 의해 결정됨을 보장하는가?
• RQ4 fppf 코hom로군 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$는 고전적 세일러 군 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$와 어떻게 비교되는가?
• RQ5 이 방법은 아벨 다양체 간의 다른 이소지니 $\phi$로 얼마나 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 모든 $p$가 $K$와 $A$에 따라 결정되는 유한하고 명시적으로 계산 가능한 집합 $\Sigma$ 외일 경우, $p^m$-세일러 군 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$는 갈루아 모듈 $A[p^m]$에 의해 결정된다.
• 충분히 큰 $p$이면서 $p$를 나누는 자리에서 $A$가 준아벨 감소를 가질 경우, 평탄 코hom로군 $H^1_{\mathrm{fppf}}(\mathcal{O}_K, \mathcal{A}[p^m])$는 $p^m$-세일러 군 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$와 동형이다.
• $p \notin \Sigma$ 이며 모든 $v$가 $p$를 나눌 경우 $e_v < p_v - 1$ 이면, 네론 모델 $\mathcal{A}[p^m]$는 $A[p^m]$에 의해 결정된다.
• 이소지니 $\phi$로의 일반화: $\deg\phi$가 모든 국소 타마구와 인자와 서로소이며 $v \mid \deg\phi$에 대해 $e_v < p_v - 1$ 이면, $\operatorname{Sel}_\phi A_L$는 $A[\phi](L^s)$에 의해 결정된다.
• 타원곡선 11A1에 대해, $p$가 충분히 크면 특정 수체의 가닥에서 명시적인 랭크 예측을 도출할 수 있다.
• 논문은 fppf 코homology를 통해 $T_pA$에 기반한 $\operatorname{Sel}_{p^m}A$의 코hom로지컬 기술을 제공하며, 세일러 군과 $p$-진 타이트 모듈 간의 기존 연결을 정밀화한다.